Gergonne-Punkt

Der Inkreis eines Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ berühre die Seiten des Dreiecks in den Punkten ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ und ${\displaystyle Z}$. Gergonne zeigte, dass sich die drei Verbindungsstrecken zwischen diesen Berührungspunkten und der jeweils gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks in einem Punkt, dem Gergonne-Punkt ${\displaystyle G}$, schneiden.^[1] Das Dreieck ${\displaystyle XYZ}$ wird als Gergonne-Dreieck bezeichnet.

Dass sich diese drei Strecken in einem Punkt schneiden, folgt aus der Gleichheit von Tangentenabschnitten (${\displaystyle {\overline {AZ}}={\overline {AY}}}$, ${\displaystyle {\overline {BX}}={\overline {BZ}}}$, ${\displaystyle {\overline {CY}}={\overline {CX}}}$) und dem Satz von Ceva.

• Der Gergonne-Punkt liegt mit dem Schwerpunkt und dem Mittenpunkt (in dieser Reihenfolge) auf einer Geraden.^[1] Dabei gilt ${\displaystyle {\overline {GS}}:{\overline {SM}}=2:1}$.^[2]
• Gergonne-Punkt und Nagel-Punkt sind isotomisch konjugiert.^[3]

Die trilinearen Koordinaten des Gergonne-Punkts (${\displaystyle X_{7}}$) sind (gleichwertig)

${\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}\,:\,{\frac {ca}{c+a-b}}\,:\,{\frac {ab}{a+b-c}}}$ oder

${\displaystyle \sec ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\,:\,\sec ^{2}{\frac {\beta }{2}}\,:\,\sec ^{2}{\frac {\gamma }{2}}.}$^[3]

Die baryzentrischen Koordinaten sind (gleichwertig)

${\displaystyle {\frac {1}{b+c-a}}\,:\,{\frac {1}{c+a-b}}\,:\,{\frac {1}{a+b-c}}}$ oder

${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}:\tan {\frac {\beta }{2}}:\tan {\frac {\gamma }{2}}.}$^[3]

Dabei sind ${\displaystyle a,b,c}$ die Seitenlängen des Dreiecks und ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ die Größen der Innenwinkel.

• Peter Baptist: Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. In: Sudhoffs Archiv, 71, 1987, 2, S. 230–233.
• Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 978-3-662-53034-4, S. 78.

• Eric W. Weisstein: Gergonne Point. In: MathWorld (englisch).
• Gergonne-Punkt – Visualisierung mit GeoGebra.