Glättender Operator

In der Analysis bezeichnet ein glättender Operator einen linearen Operator, der Distributionen auf glatte Funktionen abbildet. Solche Operatoren treten insbesondere in der Theorie partieller Differentialgleichungen und der Mikrolokalen Analysis auf, etwa bei der Konstruktion einer Parametrix elliptischer Differentialoperatoren oder im Zusammenhang mit Pseudodifferentialoperatoren. Sie besitzen die Eigenschaft, dass sie die Regularität von Funktionen oder Distributionen beliebig stark verbessern.

Glättende Operatoren lassen sich durch ihren Schwartz-Kern charakterisieren: Ein stetiger linearer Operator ist genau dann glättend, wenn sein Kernel eine glatte Funktion ist. Dadurch können glättende Operatoren Distributionen beliebiger Regularität auf glatte Funktionen abbilden und verbessern damit die Regularität eines Objekts beliebig stark.

In der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren spricht man von glättenden Pseudodifferentialoperatoren. Dies sind die Pseudodifferentialoperatoren der Ordnung $-\infty$ . Diese besitzen Symbole, die schneller als jede Potenz von $|\xi |$ gegen null gehen.

Definition

Seien $U,V\subset \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen. Ein linearer Operator $T\colon {\mathcal {D}}'(U)\to C^{\infty }(V)$ heißt glättender Operator. Der Operator bildet also jede Distribution auf $U$ auf eine glatte Funktion auf $V$ ab.

Häufig betrachtet man allerdings nur Operatoren $T\colon {\mathcal {E}}'(U)\to C'(V)$ , also Operatoren auf dem Raum der Distributionen mit kompaktem Träger ${\mathcal {E}}'(U)\subset {\mathcal {D}}'(U)$ .^[1]

Charakterisierung durch den Schwartz-Kern

Nach dem Schwartz-Kern-Theorem besitzt jeder stetige lineare Operator $T\colon C_{c}^{\infty }(U)\to {\mathcal {D}}'(V)$ einen Distributionenkern $K\in {\mathcal {D}}'(V\times U)$ . Der Operator $T$ ist genau dann ein glättender Operator, wenn dieser Kern eine glatte Funktion $K\in C^{\infty }(V\times U)$ ist.^[2]

In diesem Fall lässt sich $T$ für jede Distribution $u\in {\mathcal {D}}'(U)$ durch $(Tu)(x)=\langle u,K(x,\cdot )\rangle$ definieren, wobei $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ die Paarung zwischen Distributionen und Testfunktionen bezeichnet. Ist $u$ eine lokal integrierbare Funktion, so reduziert sich diese Darstellung auf die klassische Integralformel $\textstyle (Tu)(x)=\int _{U}K(x,y)u(y)\,dy$ .^[3]

Beispiel

Ein Beispiel für einen glättenden Operator ist die Faltung mit einer glatten Funktion. Sei dazu $\varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ eine glatte Funktion mit kompaktem Träger. Dann definiert

(Tu)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (x-y)u(y)\,dy

einen linearen Operator auf geeigneten Funktionen oder Distributionen. Der zugehörige Schwartz-Kern ist

K(x,y)=\varphi (x-y).

Da $\varphi$ eine glatte Funktion ist, ist auch $K\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n})$ . Nach der Charakterisierung glättender Operatoren ist $T$ daher ein glättender Operator. Insbesondere bildet dieser Operator Distributionen auf glatte Funktionen ab. Ein Beispiel ist die Wirkung auf die Dirac-Distribution $\delta$ , für die $T\delta =\varphi$ gilt. Die Faltung mit glatten Funktionen wird in der Analysis häufig verwendet, um Distributionen oder integrierbare Funktionen durch glatte Funktionen zu approximieren.

Zusammenhang mit Pseudodifferentialoperatoren

In der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren treten glättende Operatoren als Operatoren der Ordnung $-\infty$ auf. Ein Pseudodifferentialoperator gehört genau dann zur Klasse $\Psi ^{-\infty }$ , wenn sein Symbol in der Symbolklasse $S^{-\infty }$ liegt. Operatoren mit solchen Symbolen besitzen glatte Schwartz-Kerne.

Umgekehrt kann gezeigt werden, dass ein Operator ${\mathcal {E}}'\to C^{\infty }$ mit glattem Schwartz-Kern lokal als Pseudodifferentialoperator der Ordnung $-\infty$ dargestellt werden kann.^[1] Für Operatoren auf ganz ${\mathcal {D}}'$ benötigt man zusätzlich eine Trägerbedingung, etwa dass der Operator eigentlich getragen ist. In diesem Fall definiert ein eigentlich getragener Operator aus $\Psi ^{-\infty }$ eine Abbildung ${\mathcal {D}}'\to C^{\infty }$ .

Eigenschaften

Glättende Operatoren besitzen eine Reihe einfacher struktureller Eigenschaften.

Stabilität unter Verkettung

Sind $T_{1}$ und $T_{2}$ glättende Operatoren, so ist auch ihre Verkettung

T_{1}\circ T_{2}

ein glättender Operator.^[2]

Dies folgt unmittelbar aus der Definition, da $T_{2}$ jede Distribution auf eine glatte Funktion abbildet und $T_{1}$ glatte Funktionen wiederum auf glatte Funktionen abbildet.

Wirkung auf Sobolev-Räumen

Ein Operator mit Schwartz-Kern $K$ heißt eigentlich getragen, wenn die Projektionen des Trägers von $K$ auf beide Faktoren eigentliche Abbildungen sind.

Ist $T$ ein eigentlich getragener glättender Operator auf einer offenen Menge $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ , so gilt für alle $s,t\in \mathbb {R}$

T\colon H^{s}(U)\to H^{t}(U)

.

Ein glättender Operator verbessert also die Regularität beliebig stark. In der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren entspricht dies der Aussage, dass glättende Operatoren genau die Operatoren der Ordnung $-\infty$ sind.^[4]

Kompaktheit auf $L^{2}$

Sei $K\in C^{\infty }(U\times U)$ der Kern eines glättenden Operators und $U$ beschränkt. Dann gilt $K\in L^{2}(U\times U)$ und der Operator definiert

(Tu)(x)=\int _{U}K(x,y)u(y)\,dy

einen kompakten Operator

T\colon L^{2}(U)\to L^{2}(U)

.

Dies ist eine Folgerung aus dem Satz von Rellich-Kondrachov. Insbesondere ist $T$ ein Hilbert-Schmidt-Operator.

Verallgemeinerung

Die Definition lässt sich ohne weiteres auf glatte Mannigfaltigkeiten übertragen, indem Distributionen und glatte Funktionen auf Mannigfaltigkeiten betrachtet werden. Auch dort sind glättende Operatoren genau diejenigen Operatoren, deren Schwartz-Kern eine glatte Funktion auf dem Produktraum der Mannigfaltigkeiten ist.^[2] Auch die weiteren im Artikel genannten Objekte wie Sobolev-Räume und Pseudodifferentialoperatoren können auf Mannigfaltigkeiten definiert werden. Die hier genannten Aussagen gelten dann analog.^[1]^[4]

Glättender Operator

Definition

Charakterisierung durch den Schwartz-Kern

Beispiel

Zusammenhang mit Pseudodifferentialoperatoren