Goldene Ellipse

Gegeben seien ein Kreisring mit äußerem Radius ${\displaystyle a}$ und innerem Radius ${\displaystyle b}$ sowie eine Ellipse mit großer Halbachse ${\displaystyle a}$ und kleiner Halbachse ${\displaystyle b}$, wobei ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ positive reelle Zahlen sind.

Dann entspricht das Verhältnis ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ genau dann dem Goldenen Schnitt ${\displaystyle \Phi }$, wenn der Kreisring und die Ellipse flächengleich sind.^[1]

Der Beweis ergibt sich aus folgender Äquivalenzkette:

${\displaystyle \pi a^{2}-\pi b^{2}=\pi ab\Leftrightarrow a^{2}-ba-b^{2}=0\Leftrightarrow a={\frac {b}{2}}\ \pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}+b^{2}}}\Leftrightarrow a={\frac {1}{2}}(1\pm {\sqrt {5}})\cdot b}$

Da nur die positive Lösung infrage kommt, folgt nach Division durch ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})=\Phi }$

Die Goldene Ellipse kann einem Goldenen Rechteck mit den Seitenlängen ${\displaystyle 2a}$ und ${\displaystyle 2b}$ einbeschrieben werden.^[2]

• Anthony David Rawlins: A note on the golden ratio. Mathematical Gazette, 79, (1995), Seite 104

• Daniel Favre: Golden ratio (Sectio Aurea) in the Elliptical Honeycomb ResearchGate, Januar 2016
• Tadeusz E. Dorozinski: Goldene Ellipse auf 3doro.de, abgerufen am 30. September 2022