Grothendiecks Spursatz

mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis From Wikipedia, the free encyclopedia

Der Spursatz von Grothendieck ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis über die Spur und die Determinante einer bestimmten Klasse nuklearer Operatoren auf Banach-Räumen, der ${\tfrac {2}{3}}$ -nuklearen Operatoren. Er ist eine Erweiterung des Satzes von Lidskii.^[1] Der Satz wurde von Alexander Grothendieck bewiesen.

Grothendiecks Spursatz

Vorbereitung

Approximationseigenschaft

Ein Banach-Raum $B$ hat die Approximationseigenschaft, falls für jedes kompakte $K\subset B$ und jedes $\varepsilon >0$ ein Operator $T$ endlichen Ranges existiert, sodass für alle $x\in K$

\|x-Tx\|<\varepsilon .

⅔-nuklearer Operator

Sei $A$ ein nuklearer Operator auf einem Banach-Raum $B$ mit Approximationseigenschaft, dann ist $A$ ein ${\tfrac {2}{3}}$ -Nuklearer Operator, falls er eine Zerlegung der Form

A=\sum \limits _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}\otimes f_{k}

besitzt, wobei $\varphi _{k}\in B$ und $f_{k}\in B'$ und

\sum \limits _{k=1}^{\infty }\|\varphi _{k}\|^{2/3}\|f_{k}\|^{2/3}<\infty .

Grothendiecks Spursatz

Seien $\lambda _{j}(A)$ die Eigenwerte von einem ${\tfrac {2}{3}}$ -nuklearen Operator $A$ mit ihren Vielfachheiten gezählt. Dann ist

\sum \limits _{j}|\lambda _{j}(A)|<\infty

und es gilt

\operatorname {tr} A=\sum \limits _{j}|\lambda _{j}(A)|

\operatorname {det} (I+A)=\prod \limits _{j}(1+\lambda _{j}(A)),

wobei wir die Spur und die Fredholm-Determinante als Grenzwert definieren:

\operatorname {tr} A:=\lim \limits _{n\to \infty }\operatorname {tr} (K_{n})

\operatorname {det} (I+A):=\lim \limits _{n\to \infty }\det(I+K_{n})

mit $\|K_{n}-A\|\to 0.$

Einzelnachweise

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