Gyromagnetisches Verhältnis

Das gyromagnetische Verhältnis (auch: magnetogyrisches Verhältnis^[1]) $\gamma$ bezeichnet den Proportionalitätsfaktor zwischen dem Drehimpuls (oder Spin) ${\vec {X}}$ eines Teilchens und dem dazugehörigen magnetischen Moment ${\vec {\mu }}_{X}$

{\vec {\mu }}_{X}=\gamma _{X}{\vec {X}}

.

Daher folgt: $\gamma _{X}={\frac {|{\vec {\mu }}_{X}|}{|{\vec {X}}|}}$ . Die SI-Einheit des gyromagnetischen Verhältnisses ist rad·s⁻¹·T⁻¹.

Das gyromagnetische Verhältnis eines geladenen Teilchens ist das Produkt seines (dimensionslosen) gyromagnetischen Faktors $g$ und seines Magnetons $\mu$ , bezogen auf die reduzierte Planck-Konstante $\hbar$ :

\gamma =g\,{\frac {\mu }{\hbar }}

mit

$\mu ={\frac {q}{2\,m}}\,\hbar$ dem Magneton des Teilchens
$q$ : elektrische Ladung
$m$ : Teilchenmasse.

Das gyromagnetische Verhältnis kann bestimmt werden unter Ausnutzung des Barnett-Effektes und des Einstein-de-Haas-Effektes. In vielen anderen Experimenten, wie z. B. ferromagnetische Resonanz oder Elektronenspinresonanz, kann der Wert von $\gamma$ deutlich abweichen – in diesem Fall spricht man vom spektroskopischen Splitting-Faktor bzw. -Verhältnis.

γℓ für reinen Bahndrehimpuls eines Elektrons

Wie im Artikel Magnetisches Moment ausgeführt, gilt für das magnetische Moment des Bahndrehimpulses eines Elektrons:

{\vec {\mu _{\ell }}}=-{\frac {e}{2m_{e}}}{\vec {\ell }}

.

Mit

$-e$ der Ladung des Elektrons
$m_{e}$ seiner Masse.

Daher folgt:

\gamma _{\ell }={\frac {|{\vec {\mu _{\ell }}}|}{|{\vec {\ell }}|}}={\frac {e}{2m_{e}}}={\frac {g_{\ell }\mu _{\mathrm {B} }}{\hbar }}

.

Mit

$\mu _{\mathrm {B} }$ dem Bohrschen Magneton. Der g-Faktor für die Bahnbewegung ist also $g_{\ell }=1.$

γS für den Spin eines Teilchens

Betrachtet man ein Teilchen mit Spin ${\vec {S}}$ , so gilt:

{\vec {\mu }}_{S}=\gamma _{S}{\vec {S}}

, beziehungsweise

\gamma _{S}={\frac {|{\vec {\mu _{S}}}|}{|{\vec {S}}|}}

Der Wert dieser Naturkonstante ist für jede Teilchenart charakteristisch. Nach derzeitiger Messgenauigkeit beträgt sie

für das freie Proton:

\gamma _{\text{Proton}}=2{,}675\,221\,8744(11)\cdot 10^{8}\ \mathrm {rad} \cdot \mathrm {s} ^{-1}\,\mathrm {T} ^{-1}\,

^[2]

für das Elektron:

\gamma _{\text{Elektron}}=1{,}760\,859\,630\,23(53)\cdot 10^{11}\ \mathrm {rad} \cdot \mathrm {s} ^{-1}\,\mathrm {T} ^{-1}\,

^[3]

dabei geben die eingeklammerten Ziffern jeweils die geschätzte Standardabweichung für den Mittelwert an, der den beiden letzten Ziffern vor der Klammer entspricht.

Der g-Faktor für Spinmagnetismus ist beim freien Elektron mit 2,002 319 ... ungefähr gleich 2, ein Wert, der sich theoretisch (Dirac-Gleichung) mit QED-Korrekturen sehr gut erklären lässt. Beim freien Proton dagegen gilt Analoges keineswegs: Das magnetische Moment des Protons liegt zwar der Größenordnung nach bei dem sog. „Kernmagneton“ (das wäre der Wert $|e|\hbar /(2m_{\mathrm {Proton} })\,$ ), jedoch beträgt es ein krummzahliges Vielfaches dieses Wertes, nämlich das 2,79-fache. Auch das Neutron weist ein magnetisches Moment auf, obwohl es als Ganzes elektrisch neutral ist. Sein magnetisches Moment ist das −1.91-fache des Kernmagnetons und zeigt also entgegengesetzt zur Richtung seines Spins. Dies lässt sich erklären durch die Substruktur von Proton und Neutron.

Die elektronischen g-Faktoren der ferromagnetischen Metalle Eisen, Kobalt und Nickel liegen nahe bei 2 (mit Abweichungen von nur etwa 10 %), d. h., dass der Magnetismus dieser Systeme überwiegend Spinmagnetismus ist mit nur einem geringen Bahnanteil.

Gyromagnetische Verhältnisse von Atomkernen

Auch für Kerne kann dieses Verhältnis gemessen und angegeben werden. In der folgenden Tabelle sind einige Werte angegeben.^[4]^[5]

Weitere Informationen

,

...

Kern	$\gamma _{n}$ in 10⁷ rad·s⁻¹·T⁻¹	$\gamma _{n}/2\pi$ in MHz·T⁻¹
¹H	+26,752^[6]	+42,577^[7]
²H	0+4,1065	0+6,536
³He	−20,3789	−32,434
⁷Li	+10,3962	+16,546
¹³C	0+6,7262	+10,705
¹⁴N	0+1,9331	0+3,077
¹⁵N	0−2,7116	0−4,316
¹⁷O	0−3,6264	0−5,772
¹⁹F	+25,1662	+40,053
²³Na	0+7,0761	+11,262
³¹P	+10,8291	+17,235
³⁵Cl	+2,6237	+4,176
¹²⁹Xe	0−7,3997	−11,777

Schließen

Siehe auch

Larmorfrequenz

Literatur

Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main, 2000, ISBN 3-8171-1628-4.
Hermann Haken, Hans Christoph Wolf: Atom- und Quantenphysik. 8. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2004, S. 194 ff, ISBN 3-540-02621-5.

Einzelnachweise

[1]
Manfred Hesse, Herbert Meier, Bernd Zeeh: Spektroskopische Methoden in der organischen Chemie. 7. Auflage, Georg Thieme Verlag, Stuttgart, 2005, ISBN 3-13-576107-X
[2]
CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 16. Juli 2019. Wert für $\gamma _{p}$ .
[3]
CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 16. Juli 2019. Wert für $\gamma _{e}$ .
[4]
M A Bernstein, K F King and X J Zhou: Handbook of MRI Pulse Sequences. Elsevier Academic Press, San Diego 2004, ISBN 0-12-092861-2, S. 960 (englisch).
[5]
R C Weast, M J Astle (Hrsg.): Handbook of Chemistry and Physics. CRC Press, Boca Raton 1982, ISBN 0-8493-0463-6, S. E66 (englisch).
[6]
proton gyromagnetic ratio. NIST, 2019; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch).
[7]
proton gyromagnetic ratio over 2 pi. NIST, 2019; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch).

Related Articles