Hausdorff-Metrik

Als Hilfsmittel definiert man den Abstand ${\displaystyle D}$ zwischen einem Punkt ${\displaystyle x}$ und einer nichtleeren kompakten Teilmenge ${\displaystyle K\subseteq E}$ unter Rückgriff auf die Metrik ${\displaystyle d}$ des Raums ${\displaystyle E}$ als

${\displaystyle D(x,K):=\min\{d(x,k)\mid k\in K\}.}$

Dann definiert man den Hausdorff-Abstand zwischen zwei nichtleeren kompakten Teilmengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ als

${\displaystyle \delta (A,B):=\max\{\max\{D(a,B)\mid a\in A\},\max\{D(b,A)\mid b\in B\}\}.}$

Man kann zeigen, dass ${\displaystyle \delta }$ in der Tat eine Metrik auf der Menge aller nichtleeren kompakten Teilmengen von ${\displaystyle E}$ ist.

Äquivalent kann man den Hausdorff-Abstand definieren als

${\displaystyle \delta (A,B)=\inf\{\epsilon \geq 0\,|\ A\subseteq B_{\epsilon }{\text{ und }}B\subseteq A_{\epsilon }\}}$,^[1]

wobei

${\displaystyle A_{\epsilon }:=\bigcup _{a\in A}\{z\in E\,|\ d(z,a)\leq \epsilon \}}$,

dies ist die Menge aller Punkte mit einem Abstand von höchstens ${\displaystyle \epsilon }$ zur Menge ${\displaystyle A}$.

• Ist der metrische Raum ${\displaystyle E}$ vollständig, so ist auch der metrische Raum ${\displaystyle \left(\left\{A~|~A\subset E{\text{ kompakt}}\right\},\delta \right)}$ vollständig.^[2]

In der Theorie der iterierten Funktionensysteme werden Fraktale als Folgengrenzwerte im Sinne der Hausdorff-Metrik erzeugt.

• Hausdorff-Konvergenz
• Auswahlsatz von Blaschke
• Gromov-Hausdorff-Metrik

• M. I. Voitsekhovskii: Hausdorff metric. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).