Hessesche Normalform

Die hessesche Normalform^[1]^[2], Hesse-Normalform^[3] oder hessesche Normalenform^[4] ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. Dabei wird eine Gerade oder Ebene mithilfe eines normierten Normalenvektor der Gerade bzw. Ebene sowie ihres Abstands vom Koordinatenursprung beschrieben; es handelt sich demnach um eine spezielle Normalenform.^[5]

Anhand der Hesseschen Normalform einer Geraden oder Ebene lässt sich direkt ihr Abstand zum Koordinatenursprung ablesen. Darüber hinaus kann man mittels den Hesseschen Normalform relativ leicht den Abstand eines beliebigen Punktes im Umgebungsraum zu dieser Geraden oder Ebene berechnen. Sie ist nach dem deutschen Mathematiker Otto Hesse benannt, der sie 1865 einführte.

Mathematische Hintergründe

Normaleneinheitsvektoren einer Geraden in der Ebene

Zu jeder Geraden $g$ oder Ebene $E$ gibt es zwei Vektoren ${\vec {n}}_{0}$ und ${\vec {n}}_{1}$ der Länge eins, die senkrecht auf der Geraden bzw. Ebene stehen (Normaleneinheitsvektor); diese sind jeweils Gegenvektoren zueinander, das heißt es gilt ${\vec {n}}_{1}=-{\vec {n}}_{0}$ . Verläuft die Gerade bzw. Ebene nicht durch den Ursprung, so lassen sich diese beiden Normaleneinheitsvektoren danach unterscheiden, ob sie vom Ursprung des Koordinatensystems zu $g$ oder $E$ zeigen oder in die entgegengesetzte Richtung von $g$ bzw. $E$ zum Ursprung.

Derjenige Normaleneinheitsvektor ${\vec {n}}_{0}$ , die vom Ursprung zu $g$ bzw. $E$ zeigt, erfüllt die Beziehung ${\vec {n}}_{0}\cdot {\vec {x}}_{0}=d$ , wobei $d\geq 0$ den Abstand der Gerade bzw. den Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung, ${\vec {x}}_{0}$ den Ortsvektor eines beliebigen Punkts auf der Gerade bzw. Ebene und $\cdot$ das Skalarprodukt bezeichnet. Der entgegengesetzte Normaleneinheitsvektor erfüllt entsprechend für alle ${\vec {x}}_{0}\in g$ die Gleichung ${\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {x}}_{0}=-d.$ ^[6]

Hessesche Normalform einer Geradengleichung

Vektorgleichung

Ist ${\vec {n}}_{0}$ ein Normaleneinheitsvektor einer Geraden in der euklidischen Ebene und $d\geq 0$ ihr Abstand vom Koordinatenursprung, so besteht die Gerade aus denjenigen Punkten in der Ebene, deren Ortsvektoren ${\vec {x}}$ die Gleichung

{\vec {n}}_{0}\cdot {\vec {x}}-d=0\quad

bzw.

\quad {\vec {n}}_{0}\cdot {\vec {x}}=d

erfüllen. Diese Form einer Geradengleichung heißt Hessesche Normalform. Dabei ist ${\vec {n}}_{0}$ derjenige Normaleneinheitsvektor, der vom Ursprung zur Geraden hinzeigt.^[7] Vielfach wird nur vorausgesetzt, dass $d$ eine reelle Zahl ist. In diesem Fall gibt es zwei Hessesche Normalformen, für beide Normaleneinheitsvektoren jeweils eine, und der Betrag von $d$ gibt den Abstand des Koordinatenursprungs von der Gerade an.^[8]

In der hesseschen Normalform werden die Punkte der Geraden also implizit dadurch definiert, dass das Skalarprodukt aus dem Ortsvektor eines Geradenpunkts und dem Normaleneinheitsvektor der Geraden gleich dem Abstand der Geraden vom Ursprung ist. Ein Punkt, dessen Ortsvektor ${\vec {x}}$ die Gleichung nicht erfüllt, liegt für ${\vec {n}}_{0}\cdot {\vec {x}}>d$ auf derjenigen Seite der Geraden, in welche der Normalenvektor zeigt, und ansonsten auf der anderen Seite. Der Koordinatenursprung befindet sich immer auf der Seite der Gerade, in die der Normalnvektor nicht zeigt, sofern sie keine Ursprungsgerade ist.

Berechnung aus anderen Formen von Geradengleichungen

Die Projektion des Stützvektors ${\vec {p}}$ auf die Gerade in Richtung ${\vec {n}}_{0}$ entspricht dem Abstand $d$ von $g$ zum Ursprung, also ist $d={\vec {n}}_{0}\cdot {\vec {p}}$ .

Ist die Gerade in Normalenform gegeben als $g\colon \ {\vec {n}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {p}})$ , so bestimmt man zunächst den Normaleneinheitsvektor, der vom Ursprung zur Geraden zeigt, durch Normierung und eventuelle Vorzeichenumkehr:

{\vec {n}}_{0}={\begin{cases}{\frac {\vec {n}}{|{\vec {n}}|}}&{\text{falls}}~{\vec {n}}\cdot {\vec {p}}\geq 0,\\-{\frac {\vec {n}}{|{\vec {n}}|}}&{\text{falls}}~{\vec {n}}\cdot {\vec {p}}<0.\end{cases}}

Den Abstand der Geraden vom Ursprung erhält man als $d={\vec {n}}_{0}\cdot {\vec {p}}$ (siehe Abbildung).

Liegt die Gerade in einer anderen Form vor (allgemeinen Koordinatenform, Achsenabschnittsform, Parameterform oder Zweipunkteform), so ermittelt man zunächst die zugehörige Normalenform der Geraden (siehe Berechnung der Normalenform) und daraus dann die hessesche Normalform.

Alternative Darstellung mit Stützvektor

Ist ${\vec {p}}$ ein Stützvektor, so gilt die Beziehung $d={\vec {n}}_{0}\cdot {\vec {p}}$ . Setzt man dies in die Hessesche Normalform ${\vec {n}}_{0}\cdot {\vec {x}}-d=0$ ein, so erhält man die Darstellung

{\vec {n}}_{0}\cdot {\vec {x}}-{\vec {n}}_{0}\cdot {\vec {p}}=0\quad

bzw.

\quad {\vec {n}}_{0}\cdot \left({\vec {x}}-{\vec {p}}\right)=0.

Dabei wurde für die letzte Umformung das Distributivgesetz für das Skalarprodukt angewendet. Gelegentlich (vor allem in der Schulmathematik) werden auch diese Formen als Hessesche Normalform bezeichnet.^[9]^[10]

Beispiel

Die Hessesche Normalform einer Geraden mit Normaleneinheitsvektor ${\vec {n}}_{0}={\begin{pmatrix}3/5\\4/5\end{pmatrix}}$ und Abstand $d=6/5$ vom Koordinatenursprung lautet

{\begin{pmatrix}3/5\\4/5\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}-{\frac {6}{5}}=0

.

Dieselbe Gerade hat den Stützvektor ${\vec {p}}={\begin{pmatrix}6\\-3\end{pmatrix}}$ . Damit lässt sie sich auch in der alternativen Hesseschen Normalform schreiben als

{\begin{pmatrix}3/5\\4/5\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x-6\\y+3\end{pmatrix}}=0.

Abstandsberechnung

Der Abstand des Punkts $Q$ von der Geraden $g$ mit Einheitsnormale ${\vec {n}}_{0}$ und Abstand $d$ vom Ursprung beträgt $\left|{\vec {n}}_{0}\cdot {\vec {q}}-d\right|$ .

Der Abstand des Punktes $Q$ von der Geraden $g$ mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und Einheitsnormale ${\vec {n}}_{0}$ beträgt $\left|{\vec {n}}_{0}\cdot ({\vec {q}}-{\vec {p}})\right|$ .

Mit Hilfe der hesseschen Normalform kann der Abstand eines beliebigen Punkts $Q$ in der Ebene von einer Geraden $g$ dadurch berechnet werden, indem man den Ortsvektor ${\vec {q}}$ des Punkts in die Hessesche Normalform ${\vec {n}}_{0}\cdot {\vec {x}}-d=0$ einsetzt:^[6]

d(Q,g)={\vec {n}}_{0}\cdot {\vec {q}}-d

.

Dieser Abstand ist vorzeichenbehaftet: Für $d(Q,g)>0$ liegt der Punkt $Q$ auf derjenigen Seite der Geraden, in die der Normalenvektor zeigt, ansonsten auf der anderen Seite. Für den nicht vorzeichenbehafteten Abstand verwendet man den absoluten Betrag:

d(Q,g)=|{\vec {n}}_{0}\cdot {\vec {q}}-d|.

Liegt die Hessesche Normalform als ${\vec {n}}_{0}\cdot \left({\vec {x}}-{\vec {p}}\right)=0$ vor, so setzt man entsprechen den Ortsvektor ${\vec {q}}$ in diese Gleichung ein, um den (vorzeichenbehafteten) Abstand zu erhalten.

Koordinatengleichung

Die allgemeine Koordinatenform einer Geraden $g$ in der Ebene ist

ax+by+c=0

.

Dividiert man diese Gleichung durch ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ , erhält man die Hessesche Normalform der Koordinatengleichung:

{\frac {ax+by+c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}=0

.^[11]

Eigenschaften

Der Abstand eines beliebigen Punktes $Q=(x_{0},y_{0})$ in der Ebene von der Geraden ist

d(Q,g)=\left|{\frac {ax_{0}+by_{0}+c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right|\

, speziell:

\quad d((0,0),g)=\left|{\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right|

.

{\vec {n}}_{0}=\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)^{T}\quad

ist ein Normaleneinheitsvektor der Geraden.

Ist die Geradengleichung in expliziter Form $y=mx+d$ , so ist $\ a=m,\;b=-1,\;c=d\$ . Die zur $y$ -Achse parallele Gerade mit der Gleichung $x=d$ hat die Hessesche Normalform $x-d=0$ .

Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

Darstellung

Analog wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum in der hesseschen Normalform durch einen Normaleneinheitsvektor ${\vec {n}}_{0}$ der Ebene sowie ihren Abstand $d\geq 0$ vom Koordinatenursprung beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren ${\vec {x}}$ die Gleichung

{\vec {n}}_{0}\cdot {\vec {x}}-d=0\quad

bzw.

\quad {\vec {n}}_{0}\cdot {\vec {x}}=d

erfüllen. Dabei ist ${\vec {n}}_{0}$ derjenige Normaleneinheitsvektor, der vom Ursprung zur Ebene hinzeigt. Lässt man die Einschränkung $d\geq 0$ fallen, so gibt es zwei Hessesche Normalformen, für beide Normaleneinheitsvektoren jeweils eine, und der Betrag von $d$ gibt den Abstand des Koordinatenursprungs von der Ebene an.

In der hesseschen Normalform werden demnach die Punkte der Ebene implizit dadurch definiert, dass das Skalarprodukt aus dem Ortsvektor eines Ebenenpunkts und dem Normalenvektor der Ebene gleich dem Abstand der Ebene vom Ursprung ist. Wiederum liegt ein Punkt, dessen Ortsvektor ${\vec {x}}$ die Gleichung erfüllt, auf der Ebene. Gilt ${\vec {n}}_{0}\cdot {\vec {x}}>d$ , dann liegt der Punkt auf derjenigen Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt, ansonsten auf der anderen Seite. Der Koordinatenursprung befindet sich immer auf der Seite der Ebene, in die der Richtungsvektor nicht zeigt, sofern sie keine Ursprungsebene ist.

Eine alternative Darstellung mithilfe eines Stützvektors ${\vec {p}}$ der Ebene ist wie bei Geraden gegeben durch^[12]

{\vec {n}}_{0}\cdot {\vec {x}}-{\vec {n}}_{0}\cdot {\vec {p}}=0\quad

bzw.

\quad {\vec {n}}_{0}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {p}})=0

.

Beispiel

Die Hessesche Normalform einer Ebene mit Normaleneinheitsvektor ${\vec {n}}_{0}=(2/3,1/3,-2/3)^{T}$ und Abstand $d=4/3$ vom Ursprung lautet

{\begin{pmatrix}2/3\\1/3\\-2/3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}-{\frac {4}{3}}=0

.

Ein Stützvektor dieser Ebene ist ${\vec {p}}=(2,2,1)$ . Folglich lässt sie sich auch in der alternativen Hesseschen Normalform schreiben als

{\begin{pmatrix}2/3\\1/3\\-2/3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x-2\\y-2\\z-1\end{pmatrix}}=0.

Berechnung aus anderen Formen von Ebenengleichungen

Liegt eine Ebenengleichung in einer anderen Gleichungsform (Koordinatenform, Achsenabschnittsform, Parameterform, Dreipunkteform) vor, so erfolgt die Bestimmung der Hesseschen Normalform genauso wie im Fall von Geraden: Zunächst ermittelt man ggf. eine Normalenform $E\colon \ {\vec {n}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {p}})=0$ (siehe Berechnung der Normalenform) und normiert und orientiert dann den Normalenvektor, um denjenigen Normaleneinheitsvektor ${\vec {n}}_{0}$ zu erhalten, der vom Ursprung in Richtung der Ebene zeigt. Dann berechnet man der Abstand der Ebene vom Ursprung mittels $d={\vec {p}}\cdot {\vec {n}}_{0}$ . $\quad {\vec {n}}_{0}\cdot \left({\vec {x}}-{\vec {p}}\right)=0.$

Abstandsberechnung

Der Abstand des Punktes $Q$ von der Ebene $E$ mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und Einheitsnormale ${\vec {n}}_{0}$ beträgt $\left|{\vec {n}}_{0}\cdot ({\vec {q}}-{\vec {p}})\right|$ .

Die Berechnung des Abstands eines beliebigen Punktes $Q$ im Raum von einer Ebene $E$ erfolgt analog zum Fall von Geraden: Man setzt den Ortsvektor ${\vec {q}}$ des Punkts in die Ebenengleichung ein und erhält

d(Q,E)={\vec {q}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d

.

Dieser Abstand ist wieder vorzeichenbehaftet: Für $d(Q,E)>0$ liegt der Punkt $Q$ auf derjenigen Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt, ansonsten auf der anderen Seite. Für den nicht vorzeichenbehafteten Abstand setzt man die obige Formel in Betragsstriche:^[13]

d(Q,E)=|{\vec {q}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d|.

Liegt die Hessesche Normalform als vor, so setzt man entsprechen den Ortsvektor in diese Gleichung ein, um den (vorzeichenbehafteten) Abstand zu erhalten.^[14]

Verallgemeinerung für Hyperebenen

Allgemein wird durch die hessesche Normalform eine Hyperebene im $n$ -dimensionalen euklidischen Raum beschrieben. Im $n$ -dimensionalen euklidischen Raum besteht eine Hyperebene entsprechend aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren ${\vec {x}}$ die Gleichung

{\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0

erfüllen. Es wird dabei lediglich mit $n$ -komponentigen statt mit zwei- oder dreikomponentigen Vektoren gerechnet.^{[A 1]} Eine Hyperebene teilt den $n$ -dimensionalen Raum in zwei Teile, die Halbräume genannt werden. Ein Punkt, dessen Ortsvektor ${\vec {x}}$ die Gleichung erfüllt, liegt genau auf der Hyperebene. Gilt ${\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}>d$ , dann liegt der Punkt in demjenigen Halbraum, in den der Normalenvektor zeigt, ansonsten in dem anderen.

Geschichte

Otto Hesse führte 1865 in seinem Buch Analytische Geometrie neben der allgemeinen Form $ax+by+c=0$ einer Geradengleichung die Normalform

x\cos \alpha +y\cos \beta -\delta =0

ein. Dabei sind $\alpha ,\beta$ die Winkel der Normalen durch den Nullpunkt gegenüber den Koordinatenachsen und $\delta$ der Abstand der Geraden vom Nullpunkt. Da $\cos \beta =\sin \alpha$ ist, schreibt man heute

x\cos \alpha +y\sin \alpha -\delta =0.

Analog ist die Normalform einer Ebene erklärt.

Hesse zeigt die wichtige geometrische Eigenschaft der Normalform: Man kann mit ihr auf einfache Weise den Abstand eines Punktes von einer Geraden oder einer Ebene bestimmen.

Diese vorteilhafte Art, eine Gerade oder Ebene zu beschreiben, wurde später von Autoren übernommen und als Hessesche Normalform bezeichnet.^[15]

In Hesses Buch ist auch die übliche Umrechnung der allgemeinen Form in die Normalform durch Multiplikation mit dem Faktor ${\tfrac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ enthalten.

Siehe auch

Formel von Ascoli

Anmerkungen

[1]
In der Literatur wird die Darstellung ${\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-d=0$ einer Hyperebene manchmal auch dann als Hessesche Normalform bezeichnet, wenn der Vektor ${\vec {n}}$ nicht normiert ist.

Literatur

Otto Hesse: Vorlesungen aus der Analytischen Geometrie der graden Linie, des Punktes und des Kreises in der Ebene. E. B. Teubner, Leipzig 1865, S. 14 ff. (archive.org).
Tilo Arens, Rolf Busam, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel: Mathematik. 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2021, ISBN 978-3-662-63312-0, S. 714–717.
Alfred Clebsch, Ferdinand Lindemann: Vorlesungen über Geometrie. Springer, Wiesbaden 1891, ISBN 978-3-663-15770-0, S. 11.
Lothar Papula: Mathematische Formelsammlung: Für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer, 2009, ISBN 978-3-8348-9598-1.
Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Elemente der Linearen Algebra und der Analysis. Springer, 2009, ISBN 978-3-8274-2255-2.
Wilhelm Leupold et al.: Lehr- und Übungsbuch Mathematik. Band III. Verlag Harri Deutsch, 1969, ISBN 3-871-44041-8, S. 35–40.
Edmund Weitz: Konkrete Mathematik (nicht nur) für Informatiker. 2. Auflage. Springer Spektrum, 2021, ISBN 978-3-662-62617-7, S. 379–383.
Otto Forster: Lehrbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie. 4. Auflage. Springer Spektrum, 2019, ISBN 978-3-658-27342-2, S. 36–38.
Schülerduden Die Mathematik II. 3. Auflage. Dudenverlag, Mannheim 1991, ISBN 978-3-411-04273-9.
Analytisch Geomtrie: Lehrbuch für die Sekundarstufe II; Gymnasium. Leistungskurs. Volk und Wissen, Berlin 1998, ISBN 978-3-06-001173-5, S. 192–193.

Hessesche Normalform

Mathematische Hintergründe

Hessesche Normalform einer Geradengleichung

Vektorgleichung

Berechnung aus anderen Formen von Geradengleichungen

Alternative Darstellung mit Stützvektor

Beispiel

Abstandsberechnung

Koordinatengleichung

Eigenschaften

Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

Darstellung

Beispiel

Berechnung aus anderen Formen von Ebenengleichungen

Abstandsberechnung

Verallgemeinerung für Hyperebenen

Geschichte

Siehe auch

Anmerkungen

Literatur

Einzelnachweise

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