Normalenform

Darstellung

In der Normalenform wird eine Gerade in der Ebene durch einen Stützvektor ${\displaystyle {\vec {p}}}$ und einen Normalenvektor ${\displaystyle {\vec {n}}}$ beschrieben (siehe Bild 1). Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene, deren Ortsvektoren ${\displaystyle {\vec {x}}}$ die Vektorgleichung

${\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}=0\quad }$bzw. äquivalent hierzu${\displaystyle \quad {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}={\vec {p}}\cdot {\vec {n}}}$

erfüllen. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \cdot }$ das Skalarprodukt zweier Vektoren, welches null ist, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines beliebigen Punkts auf der Gerade, der auch als Stützpunkt oder Aufpunkt bezeichnet wird. Der Normalenvektor ist ein Vektor, der mit der Gerade einen rechten Winkel bildet. In der Normalenform werden demnach die Punkte der Geraden implizit dadurch definiert, dass der Differenzvektor aus Ortsvektor und Stützvektor senkrecht zum Normalenvektor der Gerade steht. Ein Punkt, dessen Ortsvektor ${\displaystyle {\vec {x}}}$ die Normalengleichung nicht erfüllt, liegt für ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}>{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}}$ auf derjenigen Seite der Gerade, in die der Normalenvektor zeigt, und ansonsten auf der anderen Seite.

Legt man ein ebenes rechtwinkliges Koordinatensystem zugrunde und stellt die Vektoren mithilfe ihrer Komponenten dar, so liest sich die Geradengleichung als

${\displaystyle \left({\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\end{pmatrix}}\right)\cdot {\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\end{pmatrix}}=0}$.

Schreibt man diese Gleichung aus, so erhält man die Normalenform als Koordinatengleichung:

${\displaystyle (x_{1}-p_{1})\cdot n_{1}+(x_{2}-p_{2})\cdot n_{2}=0\quad }$bzw. ${\displaystyle \quad n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}=n_{1}p_{1}+n_{2}p_{2}}$.

Beispiel

Sei ${\displaystyle g}$ eine Gerade in der Ebene mit Stützvektor ${\displaystyle {\vec {p}}={\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}}$und Normalenvektor ${\displaystyle {\vec {n}}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}}$ (siehe Bild 2). Dann ist die zugehörige Normalenform gegeben durch

${\displaystyle (x_{1}-3)\cdot 2+(x_{2}-3)\cdot 1=0\quad }$ bzw. ${\displaystyle \quad 2x_{1}+x_{2}=9.}$

Es handelt sich zugleich um eine Koordinatengleichung: Jede Wahl von ${\displaystyle (x_{1}|x_{2})}$, die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise ${\displaystyle (2|5)}$ oder ${\displaystyle (3{,}5|2)}$, entspricht einem Geradenpunkt.

Berechnung

Darstellung

Analog wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum in der Normalenform ebenfalls durch einen Stützvektor ${\displaystyle {\vec {p}}}$ und einen Normalenvektor ${\displaystyle {\vec {n}}}$ beschrieben (siehe Bild 3). Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren ${\displaystyle {\vec {x}}}$ die Gleichung

${\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}=0}$

erfüllen. Der Stützvektor ist dabei wiederum der Ortsvektor eines beliebigen Punkts in der Ebene und der Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Das bedeutet, dass der Normalenvektor mit allen Geraden der Ebene, die durch den Stützpunkt verlaufen, einen rechten Winkel bildet. Eine äquivalente Darstellung der Normalenform ist wiederum

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}={\vec {p}}\cdot {\vec {n}}}$

und ein Punkt, dessen Ortsvektor ${\displaystyle {\vec {x}}}$ die Normalengleichung erfüllt, liegt auf der Ebene. Gilt ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}>{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}}$, dann liegt der Punkt auf derjenigen Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt, ansonsten auf der anderen Seite.

Ausgedrückt in kartesischen Koordinaten lautet die Normalenform einer Ebenengleichung,

${\displaystyle (x_{1}-p_{1})\cdot n_{1}+(x_{2}-p_{2})\cdot n_{2}+(x_{3}-p_{3})\cdot n_{3}=0\quad }$bzw. ${\displaystyle \quad n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3}=n_{1}p_{1}+n_{2}p_{2}+n_{3}p_{3}}$.

Beispiel

Sei ${\displaystyle E}$ eine Ebene mit Stützvektor ${\displaystyle {\vec {p}}={\begin{pmatrix}3\\3\\4\end{pmatrix}}}$ und Normalenvektor ${\displaystyle {\vec {n}}={\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}}}$(siehe Bild 4). Dann ist die zugehörige Normalenform gegeben durch

${\displaystyle (x_{1}-3)\cdot 1+(x_{2}-3)\cdot 3+(x_{3}-4)\cdot (-1)=0}$.

Ausmultiplizieren und Zusammenfassen gleicher Terme liefert die äquivalente Darstellung

${\displaystyle x_{1}+3x_{2}-x_{3}=8.}$

Es handelt sich zugleich um eine Koordinatengleichung. Jede Wahl von ${\displaystyle (x_{1}|x_{2}|x_{3})}$, die diese Gleichung erfüllt, entspricht dann einem Ebenenpunkt. Beispielsweise liegt ${\displaystyle X(4|2|2)}$ in der Ebene wegen ${\displaystyle (4-3)\cdot 1+(2-3)\cdot 3+(2-4)\cdot (-1)=0}$.

Berechnung