Hilbert-Schema

Für ein Polynom ${\displaystyle P}$ ordnet der Hilbert-Funktor

${\displaystyle h_{P}\colon \mathbf {Schemes} ^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Sets} }$

jedem Schema ${\displaystyle B}$ die Menge der über ${\displaystyle B}$ flachen Unterschemata ${\displaystyle {\mathcal {X}}\subset P_{B}^{n}}$, deren Fasern über Punkten aus ${\displaystyle B}$ Hilbert-Polynom ${\displaystyle P}$ haben, zu.

Für ein Polynom ${\displaystyle P}$ ist das Hilbert-Schema ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{P}}$ das den Funktor ${\displaystyle h_{P}}$ darstellende Schema. ${\displaystyle h_{P}}$ ist also der Punktfunktor von ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{P}}$.

Die Eindeutigkeit von ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{P}}$ folgt aus dem Lemma von Yoneda, während die Existenz das Ergebnis einer schwierigen Konstruktion ist.^[1][2]