Hohlraum-Quantenelektrodynamik

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Ein einfaches Hohlraum-QED-System besteht aus einem Atom mit zwei Energieniveaus, das mit einer Resonatormode gekoppelt ist. Dieses System wird durch das Jaynes-Cummings-Modell beschrieben:^[2]

${\displaystyle H_{\mathrm {JC} }=\overbrace {\hbar \omega _{\mathrm {a} }\sigma ^{+}\sigma ^{-}} ^{H_{\mathrm {a} }}+\overbrace {\hbar \omega _{\mathrm {c} }a^{\dagger }a} ^{H_{\mathrm {c} }}+\overbrace {\hbar g\left(a^{\dagger }\sigma ^{-}+a\sigma ^{+}\right)} ^{H_{\mathrm {int} }}}$

mit den Hamilton-Operatoren des Atoms ${\displaystyle H_{\mathrm {a} }}$, des Feldes ${\displaystyle H_{\mathrm {c} }}$ und der Wechselwirkung ${\displaystyle H_{\mathrm {int} }}$. Dabei sind:

• ${\displaystyle \sigma ^{\pm }}$ die Auf- und Absteigeoperatoren des Atoms als Zwei-Niveau-System mit Energieabstand ${\displaystyle E=\hbar \omega _{\mathrm {a} }}$ (Plancksches Wirkungsquantum ${\displaystyle \hbar }$) und ${\displaystyle \omega _{a}}$ ist die atomare Übergangsfrequenz.
• ${\displaystyle a^{\dagger }}$ und ${\displaystyle a}$ sind die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren des Feldes innerhalb des Resonators. ${\displaystyle a^{\dagger }a}$ ist der Besetzungszahloperator. ${\displaystyle E_{\mathrm {c} }=\hbar \omega _{\mathrm {c} }n}$ sind die zugehörigen Energieeigenwerte des Feldes abhängig von der Anzahl der Photonen ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle \omega _{c}}$ ist die Resonatorfrequenz.
• Die Konstante ${\displaystyle g>0}$ beschreibt die Stärke der Licht-Materie-Kopplung.

Für die beiden allgemeinen Produktzustände ${\displaystyle |g,n+1\rangle }$ und ${\displaystyle |e,n\rangle }$, die das Atom und die Anzahl der Photonen ${\displaystyle n}$ im Resonator beschreiben, lässt sich der Jaynes-Cummings Hamilton-Operator wie folgt ausdrücken:^[3]

${\displaystyle H_{\mathrm {JC} }^{(n)}=\hbar {\begin{pmatrix}n\omega _{\mathrm {c} }+\omega _{\mathrm {a} }&g{\sqrt {n+1}}\\[8pt]g{\sqrt {n+1}}&(n+1)\omega _{\mathrm {c} }\end{pmatrix}}=\hbar {\begin{pmatrix}(n+{\tfrac {1}{2}})\omega _{\mathrm {c} }+{\tfrac {1}{2}}\omega _{\mathrm {a} }&0\\[8pt]0&(n+{\tfrac {1}{2}})\omega _{\mathrm {c} }+{\tfrac {1}{2}}\omega _{\mathrm {a} }\end{pmatrix}}+\hbar {\begin{pmatrix}-{\tfrac {1}{2}}\delta &g{\sqrt {n+1}}\\[8pt]g{\sqrt {n+1}}&{\tfrac {1}{2}}\delta \end{pmatrix}}}$

mit ${\displaystyle \delta =\omega _{\mathrm {c} }-\omega _{\mathrm {a} }}$, ${\displaystyle a|n+1\rangle ={\sqrt {n+1}}\,|n\rangle }$ und ${\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}\,|n+1\rangle }$. Die Matrixelemente abseits der Diagonalen beschreiben die Kopplung zwischen Atom und Feld.

Die Energieeigenwerte lauten^[3]

${\displaystyle E_{n}^{\pm }=\hbar \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\omega _{\mathrm {c} }+{\tfrac {1}{2}}\hbar \omega _{\mathrm {a} }\pm {\tfrac {1}{2}}\hbar {\sqrt {\Omega _{n}^{2}+\delta ^{2}}}}$

mit der Rabi-Frequenz ${\displaystyle \Omega _{n}=2g{\sqrt {n+1}}}$.

Die Eigenvektoren lassen sich noch durch einen Mischungswinkel ${\displaystyle \tan \left(2\vartheta \right)={\tfrac {\Omega _{n}}{\delta }}}$ parametrisieren:^[3]

${\displaystyle |+,n\rangle =\cos \vartheta \,|e,n\rangle +\sin \vartheta \,|g,n+1\rangle }$

${\displaystyle |-,n\rangle =\sin \vartheta \,|e,n\rangle -\cos \vartheta \,|g,n+1\rangle }$

Durch die Kopplung entstehen keine reinen Atom- oder Photonenzustände mehr, sondern sogenannte eingekleidete Zustände (engl. dressed states), die Überlagerungen beider Systeme darstellen und mit ${\displaystyle |\pm ,n\rangle }$ bezeichnet werden. Im resonanten Fall ${\displaystyle \delta =\omega _{\mathrm {c} }-\omega _{\mathrm {a} }=0}$ bei einem Mischungswinkel von ${\displaystyle \vartheta =\pi /4}$ lauten sie:^[4]

${\displaystyle |\pm ,n\rangle =(|e,n\rangle \pm |g,n+1\rangle )/{\sqrt {2}}}$

Betrachtet man ein angeregtes Atom im Anfangszustand ${\displaystyle |\Psi _{e}(0)\rangle =|e,n\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|+,n\rangle +|-,n\rangle )}$ in einem Hohlraum mit ${\displaystyle n}$ Photonen, so erreicht es nach einer Zeit ${\displaystyle t}$ den Zustand^[4]

${\displaystyle |\Psi _{e}(t)\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left({\text{e}}^{-{\text{i}}\Omega _{n}t/2}|+,n\rangle +{\text{e}}^{{\text{i}}\Omega _{n}t/2}|-,n\rangle \right)=\cos {\tfrac {1}{2}}\Omega _{n}t\,|e,n\rangle -{\text{i}}\sin {\tfrac {1}{2}}\Omega _{n}t\,|g,n+1\rangle }$		(1)

Die Wahrscheinlichkeit, den Zustand ${\displaystyle |g,n+1\rangle }$ zu erreichen, ist:

${\displaystyle |\langle g,n+1|\Psi _{e}(t)\rangle |^{2}=\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\Omega _{n}t={\tfrac {1}{2}}(1-\cos \Omega _{n}t)}$

Aufgrund der kohärenten Materie-Licht-Wechselwirkung entwickelt sich das System periodisch zwischen einem angeregten Atom mit ${\displaystyle n}$ Photonen im Resonator und einem Atom im Grundzustand mit ${\displaystyle n+1}$ Photonen. Die Kreisfrequenz beträgt dabei ${\displaystyle \Omega _{n}=\Omega _{0}{\sqrt {n+1}}}$. Dabei treten sogenannte Rabi-Oszillationen auf, die durch ${\displaystyle n}$ Photonen induziert werden:^[5]

${\displaystyle |e\rangle |n\rangle \;\longleftrightarrow \;|g\rangle |n+1\rangle }$

Analog gilt für den Ausgangszustand ${\displaystyle |\Psi _{g}(0)\rangle =|g,n+1\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|+,n\rangle -|-,n\rangle )}$:^[4]

${\displaystyle |\Psi _{g}(t)\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left({\text{e}}^{-{\text{i}}\Omega _{n}t/2}|+,n\rangle -{\text{e}}^{{\text{i}}\Omega _{n}t/2}|-,n\rangle \right)=-{\text{i}}\sin {\tfrac {1}{2}}\Omega _{n}t\,|e,n\rangle +\cos {\tfrac {1}{2}}\Omega _{n}t\,|g,n+1\rangle }$		(2)

Bemerkenswert ist dabei, dass diese Oszillationen bereits im Vakuum auftreten können. Selbst wenn sich kein reales Photon im Resonator befindet (${\displaystyle n=0}$), existiert aufgrund der Nullpunktsenergie des elektromagnetischen Feldes

${\displaystyle E_{0}={\tfrac {1}{2}}\hbar \omega }$

ein Vakuumfeld, das mit dem Atom wechselwirkt und den kohärenten Energieaustausch ermöglicht. Die Vakuumfluktuationen koppeln einen leeren Resonator mit ${\displaystyle n=0}$ einem angeregten Atom ${\displaystyle |e,0\rangle }$ an ein Atom im Grundzustand mit einem Photon ${\displaystyle |g,1\rangle }$. Ohne Resonator handelt es sich um eine spontane Emission, bei der das Photon entkommt. Mit Resonator kann das Photon hingegen reabsorbiert und erneut emittiert werden. So entsteht eine kohärente Schwingung zwischen den Zuständen:^[4]

${\displaystyle |e\rangle |0\rangle \;\longleftrightarrow \;|g\rangle |1\rangle }$

Der Abstand des Dubletts ${\displaystyle \hbar \Omega _{0}}$ ist aufgrund der niedrigen Vakuum-Rabi-Frequenz ${\displaystyle \Omega _{0}}$ sehr gering.^[5] Die Energien dieser Zustände unterscheiden sich im Resonanzfall ${\displaystyle \delta =0}$ um ${\displaystyle 2\hbar g}$, was experimentell als Vakuum-Rabi-Aufspaltung beobachtet wird. Anstelle einer einzelnen Resonanz erscheinen zwei Spektrallinien bei

${\displaystyle \omega _{\pm }={\tfrac {1}{2}}(\omega _{\mathrm {c} }+\omega _{\mathrm {a} })\pm g=\omega _{\mathrm {c} }\pm g.}$

Diese Aufspaltung gilt als einer der wichtigsten experimentellen Nachweise einer starken Kopplung zwischen Licht und Materie.

Veränderung der spontanen Emission durch einen Hohlraum.

Die spontane Emission eines Atoms ist keine unveränderliche Eigenschaft des Atoms allein, sondern wird maßgeblich durch seine elektromagnetische Umgebung beeinflusst. Befindet es sich in der Nähe einer leitenden Oberfläche oder in einem Resonator, wird das ausgesandte elektromagnetische Feld an den Grenzflächen reflektiert und wirkt auf das Atom zurück.

Interferiert das reflektierte Feld am Ort des Atoms konstruktiv mit dem emittierten Feld, wird die Emission verstärkt und die Zerfallsrate erhöht. Wird das emittierte Photon vom Atom wieder absorbiert (Reabsorption), so wird die spontane Emission teilweise unterdrückt und die Lebensdauer des angeregten Zustands verlängert.^[6]

Befindet sich ein angeregtes Atom zwischen zwei ideal leitenden, parallelen Platten, verändern sich die erlaubten Moden des elektromagnetischen Vakuumfeldes durch die geänderten Randbedingungen. Ist der Plattenabstand ${\displaystyle d}$ kleiner als die halbe Wellenlänge (${\displaystyle d<{\tfrac {\lambda }{2}}}$) des atomaren Übergangs, kann sich keine Resonatormode mit der Übergangsfrequenz ausbilden. Dadurch fehlen die Vakuummoden, welche die spontane Emission antreiben. Somit wird die Zerfallsrate stark unterdrückt und im Idealfall sogar vollständig verhindert.^[7]

Ein grundlegendes Ergebnis der Hohlraum-Quantenelektrodynamik ist der Purcell-Effekt. Befindet sich ein Atom in einem Resonator mit hohem Gütefaktor ${\displaystyle Q}$ und kleinem Modenvolumen ${\displaystyle V}$, so wird die spontane Emissionsrate um den Purcell-Faktor^[8]

${\displaystyle F_{\mathrm {P} }={\frac {3}{4\pi ^{2}}}{\frac {Q\lambda ^{3}}{V}}}$

verstärkt, wobei ${\displaystyle \lambda }$ die Wellenlänge des Hohlraumfeldes ist, das mit dem Atomübergang in Resonanz steht.

Nichtdestruktive Quantenmessung (QND)

Ein besonderer Meilenstein der Hohlraum-Quantenelektrodynamik war die Entwicklung von sogenannten Quantum-Non-Demolition-(QND)-Messungen (auch nichtdestruktive Quantenmessungen genannt). Ein Beispiel hierfür ist der zerstörungsfreie Nachweis einzelner Photonen. Dies gelingt, indem hochangeregte Rydberg-Atome den in der Abbildung rechts dargestellten Resonator ${\displaystyle C}$ durchqueren. Dabei erfahren sie aufgrund der dispersiven Licht-Materie-Wechselwirkung eine von der Photonenzahl abhängige Phasenverschiebung ihrer Wellenfunktion. In einem Ramsey-Interferometer treten Atome im Grundzustand und ein Photon ${\displaystyle |\Psi _{g}(0)\rangle =|g,1\rangle }$ in den Resonator ein. Dort erfahren sie im Zeitverlauf ${\displaystyle t=2\pi /\Omega _{0}}$ gemäß Gleichung (2) eine Phasenverschiebung von ${\displaystyle 2\pi }$^[10]

${\displaystyle |g,1\rangle \longrightarrow |\Psi _{g}(t=2\pi /\Omega _{0})\rangle =-{\text{i}}\sin({\tfrac {1}{2}}\Omega _{0}{\tfrac {2\pi }{\Omega _{0}}})\,|e,0\rangle +\cos({\tfrac {1}{2}}\Omega _{0}{\tfrac {2\pi }{\Omega _{0}}})\,|g,1\rangle =-|g,1\rangle }$

Da ${\displaystyle |g,0\rangle }$ ein Eigenzustand des gesamten Jaynes-Cummings Hamilton-Operators ${\displaystyle H_{\mathrm {JC} }^{(0)}}$ ist, bleibt der Zustand unverändert:^[4]

${\displaystyle |g,0\rangle \longrightarrow |g,0\rangle }$

Damit besitzen die beiden Zustände ${\displaystyle |g,0\rangle }$ und ${\displaystyle |g,1\rangle }$ am Ausgang des Hohlraums abhängig von der Anzahl der Photonen eine Phasenverschiebung von ${\displaystyle \pi \,{\hat {=}}-1}$. Diese Phasenverschiebung kann im Ramsey-Interferometer ohne Zerstörung des Photons nachgewiesen werden.^[11] Experimentell konnte gezeigt werden, dass nachfolgende Atome im Resonator immer mit dem gleichen Photon wechselwirken, was einen Nachweis der nichtdestruktiven Quantenmessung darstellt.^[12]

Atom-Photon-Verschränkung als Baustein eines Quantencomputers

Übertragung des Atom-Qubits auf das Hohlraum-Qubit

Wenn die Resonatorfrequenz exakt auf den atomaren Übergang abgestimmt ist, findet ein kohärenter Austausch der Quanteninformation zwischen Atom und Resonatorfeld statt. Beginnt das System im Qubit-Zustand ohne Photonen

${\displaystyle (\alpha |g\rangle +\beta |e\rangle )|0\rangle ,}$

so wird nach einer halben Rabi-Periode (nach einem ${\displaystyle \pi }$-Puls) mit ${\displaystyle |g\rangle |0\rangle \;\rightarrow \;|g\rangle |0\rangle }$ und${\displaystyle |e\rangle |0\rangle \;\rightarrow \;|g\rangle |1\rangle }$ die atomare Überlagerung vollständig auf das Resonatorfeld übertragen:^[13]

${\displaystyle (\alpha |g\rangle +\beta |e\rangle )|0\rangle \;\longrightarrow \;|g\rangle (\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )}$

Das Qubit des Atoms wird somit auf das des Hohlraums übertragen. Dies ist bis auf eine Phase auch umkehrbar. Nach einer weiteren halben Periode (einem weiteren ${\displaystyle \pi }$-Puls) mit ${\displaystyle |g\rangle |0\rangle \;\rightarrow \;|g\rangle |0\rangle }$ und ${\displaystyle |g\rangle |1\rangle \;\rightarrow \;-|e\rangle |0\rangle }$ wird der Quantenzustand wieder vollständig auf das Atom zurückübertragen. Dadurch ist ein Auslesen des Hohlraum-Qubits möglich.

${\displaystyle |g\rangle (\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )\;\longrightarrow \;(\alpha |g\rangle -\beta |e\rangle )|0\rangle }$

Mit diesem Verfahren können unter anderem einzelne Photonen erzeugt werden (ausgehend von einem angeregten Atom). Darüber hinaus kann es als Quantenschnittstelle zwischen Atomen oder gefangenen Ionen und optischen Kommunikationskanälen dienen.

Erzeugung von verschränkten Bell-Zuständen

Verändert man die Wechselwirkungszeit, entstehen verschränkte Zustände zwischen Atom und Resonatorfeld. Beginnt das System beispielsweise im Zustand^[14]

${\displaystyle |e\rangle |0\rangle ,}$

so erzeugt eine Viertelperiode (nach einem ${\displaystyle \pi /2}$-Puls) der Rabi-Oszillation den maximal verschränkten Bell-Zustand

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|e\rangle |0\rangle +|g\rangle |1\rangle \right).}$

Solche verschränkten Zustände sind eine wesentliche Ressource für die Quanteninformationsverarbeitung. Ein Hohlraum-QED-System lässt sich daher prinzipiell als Quantenrechner verwenden. Seine Beschreibung entspricht mathematisch weitgehend der eines Quantencomputers mit gefangenen Ionen, wobei die Photonen des Resonators die Rolle der Schwingungsquanten (Phononen) übernehmen.

Der Nobelpreis für Physik 2012^[15] wurde an Serge Haroche und David J. Wineland für ihre bahnbrechenden Methoden zur Kontrolle und Messung einzelner Quantensysteme verliehen.

Serge Haroche erhielt eine Hälfte des Nobelpreises für die Entwicklung der Hohlraum-Quantenelektrodynamik (Cavity Quantum Electrodynamics, CQED). In diesem Forschungsgebiet werden einzelne Atome mit einem stark begrenzten elektromagnetischen Feld innerhalb eines mikrowellenbasierten Resonators gekoppelt.^[16] Durch diese kontrollierte Licht-Materie-Wechselwirkung lassen sich die Quantenzustände der Atome gezielt manipulieren. Während sich viele frühere Arbeiten darauf konzentrierten, atomare Zustände mithilfe des Resonatorfeldes zu steuern, kehrte Haroche dieses Konzept um: Er nutzte einzelne Atome als empfindliche Quantensonden, um den Zustand einzelner Photonen im Resonator zu erzeugen, zu kontrollieren und zerstörungsfrei nachzuweisen.

In einer Reihe wegweisender Experimente gelang es Haroche und seinen Mitarbeitern, das berühmte Schrödinger-Katzen-Gedankenexperiment experimentell zu realisieren. Dabei wurden elektromagnetische Feldzustände erzeugt, die sich in einer kohärenten Superposition zweier makroskopisch unterscheidbarer Quantenzustände befinden. Solche Zustände sind außerordentlich empfindlich gegenüber Wechselwirkungen mit der Umgebung und zerfallen durch Dekohärenz innerhalb kurzer Zeit in klassische Mischzustände. Mit den von Haroche entwickelten Methoden konnte dieser Übergang von der Quantenwelt zur klassischen Physik erstmals in Echtzeit beobachtet und quantitativ untersucht werden.

Die experimentellen Techniken der Hohlraum-Quantenelektrodynamik sind heute eine wesentliche Grundlage der modernen Quantenoptik. Mithilfe dieser Techniken ist es möglich, einzelne Photonen zu erzeugen, zu kontrollieren und zerstörungsfrei zu messen. Sie finden Anwendung in der Quanteninformationsverarbeitung, der Quantenkommunikation sowie bei der Entwicklung zukünftiger Quantencomputer.

• Fabry-Pérot-Interferometer
• Maxwell-Bloch-Gleichungen

• Herbert Walther, Benjamin T H Varcoe, Berthold-Georg Englert, Thomas Becker: Cavity quantum electrodynamics. In: Rep. Prog. Phys. 69. Jahrgang, Nr. 5, 2006, S. 1325–1382, doi:10.1088/0034-4885/69/5/R02, bibcode:2006RPPh...69.1325W (englisch, iop.org). Microwave wavelengths, atoms passing through cavity
• R Miller, T E Northup, K M Birnbaum, A Boca, A D Boozer, H J Kimble: Trapped atoms in cavity QED: coupling quantized light and matter. In: J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 38. Jahrgang, Nr. 9, 2005, S. S551–S565, doi:10.1088/0953-4075/38/9/007, bibcode:2005JPhB...38S.551M (englisch, iop.org). Optical wavelengths, atoms trapped