Homothetische Funktionen

Zwei auf $\mathbb {R}$ definierte reellwertige Funktionen $f$ und $g$ heißen homothetisch, wenn es eine positive reelle Konstante $k\neq 1$ gibt mit $g(kx)=kf(x)$ .

Ersetzt man $x$ durch ${\tfrac {x}{k}}$ , so erhält man die äquivalente Beziehung $g(x)=kf({\tfrac {x}{k}})$ .

Beispiele

Homothetische Hyperbelfunktionen

Zwei Hyperbelfunktionen mit den Gleichungen $f(x)={\frac {a}{x}}$ und $g(x)={\frac {b}{x}}$ $(a,b>0)$ , deren Asymptoten senkrecht zueinander sind (rechtwinklige oder auch gleichseitige Hyperbeln^[1]), sind genau dann homothetisch, wenn $k={\sqrt {\frac {b}{a}}}$ gilt.

$g(kx)=kf(x)\Leftrightarrow {\frac {b}{kx}}=k\cdot {\frac {a}{x}}\Leftrightarrow {\frac {b}{k}}=a\cdot k\Leftrightarrow k^{2}={\frac {b}{a}}\Leftrightarrow k={\sqrt {\frac {b}{a}}}$

Homothetische quadratische Funktionen

Zwei quadratische Funktionen mit den Gleichungen $f(x)=ax^{2}$ und $g(x)=bx^{2}$ $(a,b>0)$ sind genau dann homothetisch, wenn $k={\frac {a}{b}}$ gilt.

$g(kx)=k\cdot f(x)\Leftrightarrow b(kx)^{2}=k\cdot ax^{2}\Leftrightarrow bk^{2}x^{2}=kax^{2}\Leftrightarrow k={\frac {a}{b}}$

Homothetische trigonometrische Funktionen

Die Funktionen $f$ und $g$ mit den Gleichungen $f(x)=\sin(x)$ und $g(x)=\sin(x)\cos(x)$ sind homothetisch mit $k={\frac {1}{2}}$ , da gilt:

$g(x)=\sin(x)\cos(x)={\frac {1}{2}}\cdot 2\sin(x)\cos(x)={\frac {1}{2}}\cdot \sin(2x)={\frac {1}{2}}\cdot f(2x)={\frac {1}{2}}\cdot f\left({\frac {x}{\frac {1}{2}}}\right)$

Homothetische lineare Funktionen

Jede lineare Funktion mit der Gleichung $f(x)=ax(a\in \mathbb {R} )$ ist homothetisch zu sich selbst (selbst-homothetisch).

$f(kx)=akx=kax=kf(x)$ ^[2]