Inada-Bedingungen

Wesentlichkeit der Produktionsfaktoren

Zwischen den Inada-Bedingungen und der Wesentlichkeit der Produktionsfaktoren besteht ein enger Zusammenhang. Man bezeichnet einen Produktionsfaktor als wesentlich, wenn seine vollständige Abwesenheit dazu führt, dass gar nichts produziert werden kann.

Anmerkungen:

• Die Annahme von zwei Produktionsfaktoren ist für diesen Zusammenhang wichtig; bei mehr als zwei Produktionsfaktoren gilt die Aussage im Allgemeinen nicht.^[9]
• Eine aggregierte Produktionsfunktion, die die Merkmale [A1]–[A3] aufweist und deren Produktionsfaktoren wesentlich sind, bezeichnet man auch als neoklassische Produktionsfunktion.^[10] Der Satz erlaubt es somit, in der Definition einer neoklassischen Produktionsfunktion im Zwei-Faktoren-Fall auf die explizite Forderung der Wesentlichkeit der Produktionsfaktoren zu verzichten.^[11]

Es gelten außerdem einige „Umkehrungen“ des Satzes:^[12] Wenn Kapital ein wesentlicher Produktionsfaktor ist und die Eigenschaften [A2] und [A3] gelten, dann erfüllt ${\textstyle F}$ die Inada-Bedingung ${\textstyle \lim _{L\rightarrow \infty }F_{L}(K,L)=0}$. Analog: Wenn Arbeit ein wesentlicher Produktionsfaktor ist und die Eigenschaften [A2] und [A3] gelten, dann erfüllt ${\textstyle F}$ die Inada-Bedingung ${\textstyle \lim _{K\rightarrow \infty }F_{K}(K,L)=0}$. Die Wesentlichkeit des einen Faktors impliziert also, dass der andere Faktor die Inada-Bedingung im Unendlichen erfüllt. Ferner gilt: Wenn Kapital ein wesentlicher Produktionsfaktor ist und ${\textstyle \lim _{L\rightarrow \infty }F(K,L)=\infty }$, dann gilt die Inada-Bedingung ${\textstyle \lim _{K\to 0^{+}}F_{K}(K,L)=\infty }$. Analog: Wenn Arbeit ein wesentlicher Produktionsfaktor ist und ${\textstyle \lim _{K\rightarrow \infty }F(K,L)=\infty }$, dann gilt die Inada-Bedingung ${\textstyle \lim _{L\to 0^{+}}F_{L}(K,L)=\infty }$. Ähnliche Aussagen sind auch für Produktionsfunktionen mit mehr als zwei Produktionsfaktoren möglich.^[13]

Substitutionselastizität

Betrachte eine zweimal stetig differenzierbare, strikt konkave Produktionsfunktion in Intensivform, ${\textstyle f(k)}$, mit konstanten Skalenerträgen. Die Substitutionselastizität beträgt

${\displaystyle \sigma (k)=-{\frac {\mathrm {d} \ln(k)}{\mathrm {d} \ln(F_{K}/F_{L})}}=-{\frac {f'(k)\cdot \left[f(k)-kf'(k)\right]}{kf(k)f''(k)}}}$,

wobei ${\textstyle F_{K}/F_{L}}$ die Grenzrate der technischen Substitution (GRTS) zwischen Kapital und Arbeit bezeichnet.^[14] Auf die Herleitung der Formel wird hier verzichtet; im Kern konstruiert man, um die erste Gleichung zu erhalten, aus ${\displaystyle f(k)}$ wieder eine Produktionsfunktion ${\displaystyle F(K,L)}$, berechnet die Substitutionselastizität wie sonst üblich und nutzt aus, dass die GRTS wegen der Annahme konstanter Skalenerträge nur von ${\textstyle k}$ und nicht allgemein von ${\textstyle (K,L)}$ abhängt.^[15] Explizites Ausrechnen führt anschließend unmittelbar auf die zweite Gleichung.^[16]

Die Interpretation dieser Aussage hat in der Literatur zu einem gewissen Dissens geführt: Barelli/de Abreu Pessôa (2003) setzten die Klasse der Funktionen, deren Substitutionselastizität asymptotisch 1 beträgt, ursprünglich mit der Klasse der Funktionen vom Cobb-Douglas-Typ gleich.^[18] Das würde etwa bedeuten, dass die empirische Beobachtung eines Produktionsprozesses, der keiner Cobb-Douglas-Funktion folgt, im Widerspruch zur Annahme der (vollständigen) Inada-Bedingungen stünde. Dagegen argumentieren Litina/Palivos (2008), die zeigen wollen, dass Funktionen, deren Substitutionselastizität asymptotisch 1 beträgt, nicht notwendigerweise vom Cobb-Douglas-Typ seien. Dem widerspricht wiederum Ozkaya (2021), der das Gegenbeispiel von Litina/Palivos (2008) für fehlerhaft hält und den von Barelli/de Abreu Pessôa (2003) behaupteten Schluss formal untermauert, indem er explizit die Gleichung einer Cobb-Douglas-Funktion aufstellt, in die eine Produktionsfunktion, die den Inada-Bedingungen genügt, überführt werden kann.

Existenz und Eindeutigkeit des Steady State

Die Dynamik des Kapitalstocks pro effektiver Arbeitseinheit ${\displaystyle k}$ wird durch die fundamentale Differenzialgleichung des Solow-Modells (mit exogenem technischen Fortschritt) beschrieben:

${\displaystyle {\dot {k}}(t)=sAf(k(t))-(n+g+\delta )k(t)}$

Dabei steht ${\textstyle s\in (0,1)}$ für die Sparquote, ${\textstyle A}$ für das Technologieniveau, ${\textstyle n}$ für das Bevölkerungswachstum, ${\textstyle g}$ für die Rate des technischen Fortschritts und ${\textstyle \delta }$ für die Abschreibungsrate. Ein Steady State ist ein Punkt ${\textstyle k^{*}>0}$, an dem ${\textstyle {\dot {k}}=0}$ gilt. Die Inada-Bedingungen garantieren die Existenz einer solchen Lösung durch folgendes Resultat:

Intuitiv lässt sich dies mit folgender Überlegung einsehen: Die Bedingung für den Steady State lässt sich umformen zu:

${\displaystyle {\frac {f(k^{*})}{k^{*}}}={\frac {n+g+\delta }{sA}}}$.

Die linke Seite entspricht der Durchschnittsproduktivität des Kapitals. Unter den Inada-Bedingungen ist die Durchschnittsproduktivität eine streng monoton fallende Funktion, die für ${\textstyle k\rightarrow 0^{+}}$ gegen unendlich divergiert und für ${\textstyle k\rightarrow \infty }$ gegen null konvergiert. Nach dem Zwischenwertsatz existiert daher genau ein Schnittpunkt mit der horizontalen Geraden der Investitionskosten.

Keine Randlösungen

Die Inada-Bedingungen gewährleisten in einer Wettbewerbsökonomie, dass bei jedem endlichen Faktorpreisverhältnis die gewinnmaximierende Faktornachfrage eine innere Lösung ist. Randlösungen, in denen ein Produktionsfaktor trotz positiver Preise nicht eingesetzt wird, können daher nicht optimal sein. Dies hat folgenden Hintergrund:

Da laut erster Inada-Bedingung das Grenzprodukt für gegen null strebende Einsatzmengen gegen unendlich divergiert, wäre der Grenzgewinn im Limes am Rand unbeschränkt groß. Selbst bei sehr hohen Zinsen wird es für ein Unternehmen daher immer profitabel sein, zumindest eine kleine Menge Kapital nachzufragen. Ein Zustand mit ${\textstyle k=0}$ kann somit kein stabiles Marktgleichgewicht sein. Diese unendliche Grenzproduktivität am Nullpunkt begrenzt gleichzeitig das (asymptotische) Verhalten der Faktorpreise: Im Solow-Modell werden Kapital und Arbeit gemäß ihren Grenzprodukten entlohnt, wobei für den Realzins ${\textstyle r=Af'(k)-\delta }$ und für den Reallohn ${\textstyle w=A[f(k)-kf'(k)]}$ gilt. Die Inada-Bedingungen sorgen hierbei dafür, die Preise in einem Bereich zu halten, der einen strikt positiven Faktoreinsatz im Gleichgewicht erzwingt. Steigt die Kapitalintensität ${\textstyle k}$ stark an, so sinkt das Grenzprodukt gemäß der zweiten Inada-Bedingung gegen null, wodurch der Realzins bis auf ${\textstyle -\delta }$ fällt und weitere Akkumulation unattraktiv macht. Sinkt ${\textstyle k}$ hingegen gegen null, treibt das explodierende Grenzprodukt den Zins theoretisch gegen unendlich, was sofortige Investitionen auslöst. Da zugleich durch die Konkavität der Produktionsfunktion sichergestellt ist, dass bei jedem ${\textstyle k>0}$ auch ein positiver Restbetrag für die Entlohnung der Arbeit verbleibt, garantieren die Inada-Bedingungen, dass beide Faktoren im Marktgleichgewicht stets wesentlich bleiben und zu positiven Preisen entlohnt werden. Eine Volkswirtschaft, die diesen Bedingungen folgt, kann somit nicht in einer Situation verharren, in der Produktionsfaktoren zwar vorhanden, aber aufgrund mangelnder Produktivität oder prohibitiv hoher Preise vollständig ungenutzt bleiben.