Integration-by-parts-Operator

Sei ${\displaystyle E}$ ein Banach-Raum, sodass ${\displaystyle E}$ und der topologische Dualraum ${\displaystyle E^{*}}$ separable Räume sind, und ${\displaystyle \mu }$ ein Borelmaß auf ${\displaystyle E}$. Sei ${\displaystyle S}$ eine fixierte Untermenge des Funktionenraums auf ${\displaystyle E}$. Mit ${\displaystyle \mathrm {D} \phi }$ bezeichnen wir die Fréchet-Ableitung von ${\displaystyle \phi }$. Ein linearer Operator ${\displaystyle \operatorname {P} \colon S\to L^{2}(\mu )}$ heißt Integration-by-parts-Operator (kurz IPO) für ${\displaystyle \mu }$ falls

${\displaystyle \int _{E}\mathrm {D} \varphi (x)h(x)\,\mathrm {d} \mu (x)=\int _{E}\varphi (x)(\operatorname {P} h)(x)\,\mathrm {d} \mu (x)}$

für jede C¹-Funktion ${\displaystyle \varphi \colon E\to \mathbb {R} }$ und jedes ${\displaystyle h\in S}$ gilt, mit dem beide Seiten existieren.

Betrachte einen abstrakten Wiener-Raum ${\displaystyle (H,E,\mu )}$ mit Gaußschem Maß ${\displaystyle \mu \colon H\to E}$. Man kann ${\displaystyle E^{*}}$ als Unterraum von ${\displaystyle E}$ unter der Inklusion

${\displaystyle E^{*}\xrightarrow {i^{*}} H^{*}\cong H\xrightarrow {i} E}$

auffassen. Sei ${\displaystyle S}$ ein Unterraum von ${\displaystyle C^{1}(E,E^{*})}$. Für ${\displaystyle h\in S}$ definiere

${\displaystyle (\operatorname {P} h)(x):=h(x)x-\operatorname {Tr} _{H}\operatorname {D} h(x).}$

Dann ist ${\displaystyle \operatorname {P} }$ ein Integration-by-parts-Operator. Der Beweis folgt aus dem Divergenzsatz für abstrakte Wiener-Räume und kann in Elworthy (1974) gefunden werden.^[2]