Intensitätsmaß

Gegeben sei ein zufälliges Maß ${\displaystyle X}$ auf dem Messraum ${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}$. Das bedeutet, dass ${\displaystyle X}$ fast sicher lokal endliche Maße auf ${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}$ als Werte annimmt.

Dann heißt das Maß ${\displaystyle \operatorname {E} X}$ auf ${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}$, das durch

${\displaystyle \operatorname {E} X\colon \left\{{\begin{aligned}{\mathcal {A}}&\to [0,\infty ]\\A&\mapsto \operatorname {E} [X(A)]\end{aligned}}\right.}$

gegeben ist, das Intensitätsmaß von ${\displaystyle X}$.^[1] Hierbei ist zu unterscheiden zwischen der Bezeichnung des Intensitätsmaßes als ${\displaystyle \operatorname {E} X}$ und der Bildung des Erwartungswertes einer Zufallsvariable ${\displaystyle Y}$ durch ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]}$.

Bei einem Binomial-Prozess ${\displaystyle X}$ gegeben durch ${\displaystyle n}$ und eine Verteilung ${\displaystyle \nu }$ gilt per Konstruktion ${\displaystyle X(A)\sim \operatorname {Bin} _{n,\nu (A)}}$. Mit den elementaren Eigenschaften der Binomialverteilung folgt dann direkt

${\displaystyle \operatorname {E} X(A)=\operatorname {E} [X(A)]=n\nu (A)}$.

Also ist das Intensitätsmaß eines Binomialprozesses gegeben durch

${\displaystyle \operatorname {E} X=n\nu }$.

Das Intensitätsmaß ${\displaystyle \operatorname {E} X}$ ist stets s-finit und erfüllt

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\int f(x)X(\mathrm {d} x)\right]=\int f(x)\operatorname {E} X(dx)}$

für jede positive messbare Funktion auf ${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}$.^[2]

• Olav Kallenberg: Random Measures, Theory and Applications. Springer, Switzerland 2017, doi:10.1007/978-3-319-41598-7.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.