Kongruenzuntergruppe

Sei

${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$

eine über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ definierte algebraische Gruppe und ${\displaystyle N}$ eine natürliche Zahl. Dann ist

${\displaystyle \Gamma$ :=\ker(p_{N}\colon G(\mathbb {Z} )\rightarrow \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ))}

eine Kongruenzuntergruppe. (Hierbei bezeichnet ${\displaystyle p_{N}}$ die Einschränkung der „Reduktion modulo N“ auf ${\displaystyle G(\mathbb {Z} )}$.)

Kongruenzuntergruppen sind (nach Konstruktion) arithmetische Gruppen. Für ${\displaystyle n\geq 3}$ enthält jede arithmetische Gruppe ${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )}$ eine Kongruenzuntergruppe.^[1][2]

Sei ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring. Eine Kongruenzuntergruppe ist der Kern des Homomorphismus

${\displaystyle SL(R)\to SL(R/I)}$

für ein Ideal ${\displaystyle I\subset R}$.