Kontiguität (Wahrscheinlichkeitstheorie)

Der Satz von Radon-Nikodým verallgemeinert die Ableitung einer Funktion auf Maße:

Für ein σ-endliches Maß ${\displaystyle \mu }$ auf dem Messraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ und ein σ-endliches signiertes Maß ${\displaystyle \nu }$, das absolut stetig bezüglich ${\displaystyle \mu }$ ist (${\displaystyle \nu \ll \mu }$), existiert eine messbare Funktion ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$, so dass

${\displaystyle \nu (E)=\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu }$ für alle ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$ gilt.

In der asymptotischen Wahrscheinlichkeitstheorie werden statt konstanten Maßen (${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \nu }$) Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen ${\displaystyle ((P_{n})_{n\in I}}$ und ${\displaystyle (Q_{n})_{n\in I})}$ untersucht. Um den obigen Satz für zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen zu definieren, muss der Begriff der absoluten Stetigkeit mit dem Konzept der Kontiguität für diese Folgen verallgemeinert werden.

Man nennt ein Maß ${\displaystyle Q}$ bezüglich ${\displaystyle P}$ absolut stetig (in Symbolen ${\displaystyle Q\ll P}$), falls für jede messbare Menge ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle P(A)=0}$ impliziert, dass ${\displaystyle Q(A)=0}$ gilt. Während absolute Stetigkeit fordert, dass der Träger eines Maßes ${\displaystyle P}$ im Träger eines weiteren Maßes ${\displaystyle Q}$ enthalten ist, ersetzt die Kontiguität diese Anforderung mit einer asymptotischen Version: Der Träger von ${\displaystyle Q_{n}}$ ist für große ${\displaystyle n}$ im Träger von ${\displaystyle P_{n}}$ enthalten.

Es sei ${\displaystyle (\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})}$ eine Folge von Messräumen, jeweils mit zwei Wahrscheinlichkeitsmaßen ${\displaystyle P_{n}}$ und ${\displaystyle Q_{n}}$ ausgestattet.

• Die Folge ${\displaystyle Q_{n}}$ heißt benachbart zu ${\displaystyle P_{n}}$ (in Symbolen ${\displaystyle Q_{n}\vartriangleleft P_{n}}$), falls für jede Folge ${\displaystyle A_{n}}$ von messbaren Mengen, ${\displaystyle P_{n}(A_{n})\rightarrow 0}$ impliziert, dass ${\displaystyle Q_{n}(A_{n})\rightarrow 0}$.
• Die Folgen ${\displaystyle P_{n}}$ und ${\displaystyle Q_{n}}$ heißen wechselseitig benachbart oder englisch bi-contiguous (in Symbolen ${\displaystyle Q_{n}\vartriangleleft \vartriangleright P_{n}}$), falls ${\displaystyle Q_{n}}$ benachbart zu ${\displaystyle P_{n}}$ und ${\displaystyle P_{n}}$ benachbart zu ${\displaystyle Q_{n}}$.^[3]

• Im Fall ${\displaystyle (P_{n},Q_{n})=(P,Q)}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt: ${\displaystyle Q_{n}\triangleleft P_{n}\Leftrightarrow Q\ll P}$.^[4]
• Es ist möglich, dass ${\displaystyle P_{n}\ll Q_{n}}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt, ohne dass ${\displaystyle P_{n}\triangleleft Q_{n}}$ ist.^[5]

Für zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen ${\displaystyle (P_{n}){\text{ und }}(Q_{n})}$ auf den Messräumen ${\displaystyle (\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})}$ sind folgende Aussagen equivalent:^[6][7][8]

• ${\displaystyle P_{n}\triangleleft Q_{n}}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q_{n}}{\mathrm {d} P_{n}}}{\overset {P_{n}}{\,\longrightarrow \,}}U{\text{ auf einer Teilfolge }}\Rightarrow P(U>0)=1}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P_{n}}{\mathrm {d} Q_{n}}}{\overset {Q_{n}}{\,\longrightarrow \,}}V{\text{ auf einer Teilfolge }}\Rightarrow E(V)=1}$
• ${\displaystyle T_{n}{\overset {P_{n}}{\,\longrightarrow \,}}0\,\Rightarrow \,T_{n}{\overset {Q_{n}}{\,\longrightarrow \,}}0}$ für alle Teststatistiken ${\displaystyle T_{n}:\Omega _{n}\rightarrow \mathbb {R} }$

wobei ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle V}$ Zufallsvariablen auf den Wahrscheinlichkeitsräumen ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P){\text{ bzw. }}(\Omega ',{\mathcal {F}}',Q)}$ sind.

Die Notation ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q_{n}}{\mathrm {d} P_{n}}}{\overset {P_{n}}{\,\longrightarrow \,}}U}$ bezeichnet die Konvergenz in Verteilung.

Das dritte Lemma von Le Cam ist eine Version des Satzes von Radon-Nikodým, in dem die absolute Stetigkeit durch Kontiguität ersetzt wird. Es wird wie folgt formuliert:^[9]

Theorem

Sei ${\displaystyle Q_{n}\triangleleft P_{n}}$ mit den zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen ${\displaystyle (P_{n}){\text{ und }}(Q_{n})}$ auf den Messräumen ${\displaystyle (\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})}$ und ${\displaystyle X_{n}:\Omega _{n}\to \mathbb {R} ^{k}}$ eine Folge von Zufallsvektoren und es gelte ${\displaystyle \left(X_{n},{\frac {\mathrm {d} Q_{n}}{\mathrm {d} P_{n}}}\right){\overset {P_{n}}{\to }}(X,V)}$.
Dann definiert ${\displaystyle L(B):=E(1_{B}(X)V)}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{k},{\mathcal {B}}^{k})}$ mit ${\displaystyle \int f\ \mathrm {d} L=E(f(X)V)}$ für jede messbare Funktion ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} }$ und es gilt ${\displaystyle X_{n}{\overset {Q_{n}}{\to }}L}$.

Für die Konvergenz gegen die mehrdimensionale Normalverteilung folgt daraus folgendes Korollar:

Korollar

Seien ${\displaystyle (P_{n}){\text{ und }}(Q_{n})}$ Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf den Messräumen ${\displaystyle (\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})}$, und sei ${\displaystyle X_{n}:\Omega _{n}\to \mathbb {R} ^{k}}$ eine Folge von Zufallsvektoren und es gelte
${\displaystyle \left(X_{n},\log {\frac {dQ_{n}}{dP_{n}}}\right)\quad {\overset {P_{n}}{\to }}\quad {\mathcal {N}}_{k+1}\left({\begin{pmatrix}\mu \\-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\Sigma &\tau \\\tau '&\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\right).}$
Dann gilt: ${\displaystyle X_{n}{\overset {Q_{n}}{\to }}{\mathcal {N}}_{k}(\mu +\tau ,\Sigma )}$.

• Ökonometrie^[10]

• Ulrich Müller-Funk: Mathematische Statistik II. Asymptotische Statistik: Parametrische Modelle und nichtparametrische Funktionale. Vieweg+Teubner Verlag, Stuttgart 2013, ISBN 978-3-322-90152-1, S. 291 ff.
• Jaroslav Hájek, Zbyněk Šidák (1967). Theory of rank tests. New York: Academic Press.
• Lucien Le Cam (1960). "Locally asymptotically normal families of distributions". University of California Publications in Statistics. 3: 37–98.
• George G. Roussas (2001) [1994], "Contiguity of probability measures", Encyclopaedia of Mathematics, EMS Press
• Aad van der Vaart (1998). Asymptotic statistics. Cambridge University Press.
• George G. Roussas (1972), Contiguity of Probability Measures: Some Applications in Statistics, CUP, ISBN 978-0-521-09095-7.
• D.J. Scott (1982) Contiguity of Probability Measures, Australian & New Zealand Journal of Statistics, 24 (1), 80–88.
• Erich Leo Lehmann, Joseph Paul Romano (2008), Testing Statistical Hypotheses. Springer New York.