Konvexe Inversion

Bereits kurz nach der Entdeckung der ersten Asteroiden zu Beginn des 19. Jahrhunderts wurde an ihnen eine veränderliche Helligkeit festgestellt. Bei diesen Beobachtungen wurden aber zunächst Effekte beobachtet, die auf einem veränderten Phasenwinkel beruhten. Dabei verändert sich im Laufe einiger Tage (vom Asteroiden aus gesehen) der Winkel zwischen Sonne und Erde und damit auch der Rückstrahlwinkel des zur Erde reflektierten Sonnenlichts und (von der Erde aus gesehen) die Phasengestalt des Asteroiden (vergleichbar mit den Mondphasen). Erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurden systematisch photometrische Beobachtungen an Asteroiden durchgeführt, bei denen z. B. festgestellt wurde, dass der Phasenkoeffizient (die Helligkeitsänderung pro 1° Veränderung des Phasenwinkels) bei verschiedenen Asteroiden unterschiedlich groß ist.

Zusätzlich wurden aber auch kurzfristige Helligkeitsveränderungen beobachtet. Im Jahr 1899 wurde erstmals beim Asteroiden (345) Tercidina eine Periodizität dieser Veränderungen im Bereich von 3,8 Stunden abgeleitet, im Jahr 1901 konnte Egon von Oppolzer bei (433) Eros sogar eine enorme Änderung der Scheinbaren Helligkeit von fast 2 mag innerhalb von 2,6 Stunden feststellen. Genauere Untersuchungen zeigten geringe Unterschiede in den aufeinanderfolgenden Wellen, so dass schließlich auf eine vollständige Periode von 5,2704 h geschlossen wurde. Bei den Beobachtungen in den folgenden Jahren konnte aber auch bemerkt werden, dass die Amplitude dieser Helligkeitsschwankungen in manchen Jahren wesentlich kleiner und in manchen Jahren nahezu völlig verschwunden war.

Als wahrscheinlichste Ursache für diese regelmäßigen Helligkeitsveränderungen wurde zunächst eine Rotation des Asteroiden und eine gefleckte Oberfläche mit Bereichen stark unterschiedlicher Albedo vermutet. Als Grund für die unterschiedlichen Amplituden der Schwankungen wurden inhomogene Verteilungen dieser Flecken angenommen, die mal mehr und mal weniger von der Erde aus zu sehen wären. Es erwies sich aber, dass diese Theorie ebenso wie die Vermutung einer Bedeckungsveränderlichkeit durch einen umlaufenden Satelliten (vergleichbar mit bedeckungsveränderlichen Sternen) nicht hinreichend ist, um so starke Helligkeitsänderungen, wie sie bei (433) Eros beobachtet wurden, alleine zu erklären.^[1]

Obwohl auch solche Effekte in besonderen Fällen eine Rolle spielen können, erwies es sich jedoch, dass die Helligkeitsschwankungen in den meisten Fällen auf eine rotierende, unregelmäßige Gestalt der Asteroiden in Verbindung mit einer zur Ebene der Ekliptik geneigten Rotationsachse zurückzuführen sind. Dadurch ändert sich der Querschnitt des sichtbaren und beleuchteten Teils ihrer Oberfläche und somit auch ihre Helligkeit mit der Zeit. Diese Helligkeitsänderung kann als unregelmäßige, aber periodische Lichtkurve registriert werden, aus der sich dann oft direkt die Rotationsperiode des Asteroiden bestimmen lässt. Der Rückschluss auf die verursachende Gestalt des Asteroiden ist aber ungleich schwieriger: Ein nahezu kugelförmiger Asteroid wäre beispielsweise konstant hell, während ein länglicher Asteroid, der um die kurze Achse rotiert, bei Betrachtung senkrecht zur Rotationsachse große Helligkeitsschwankungen und bei Betrachtung aus Polrichtung nur kleine Schwankungen aufweisen würde. Versuche, aus der Form und Veränderlichkeit der Lichtkurve eines Asteroiden Rückschlüsse auf seine Gestalt zu ziehen, führten für (433) Eros z. B. bereits 1938 zur Ableitung der Achsenverhältnisse eines dreiachsig-ellipsoidischen Gestaltmodells^[2] und 1952 zur Bestimmung der Lage der Rotationsachse.^[3]

Das Problem der Lichtkurveninversion wurde erstmals im Jahr 1906 adressiert durch den US-amerikanischen Astronomen Henry Norris Russell (1877–1957) an der Princeton University in New Jersey. Er formulierte eine mathematische Theorie für das Problem und kam zum Schluss, dass durch die Beobachtung eines veränderlichen Asteroiden während der Opposition in allen Abschnitten seiner Umlaufbahn festgestellt werden kann, ob seine Lichtkurve allein durch seine Rotation erklärt werden kann und falls ja, ob der Asteroid eine absorbierende Atmosphäre besitzt, keine konvexe Form aufweist, eine gefleckte Oberfläche hat oder ob diese Annahmen unzutreffend sind. Außerdem sei es immer möglich, die Lage der Rotationsachse (aber nicht des Drehsinns) zu ermitteln. Aber es wäre wegen der unbekannten Helligkeitsverteilung auf der Oberfläche unmöglich, die Form des Asteroiden zu bestimmen.^[4] Russells Schlussfolgerungen waren somit ziemlich pessimistisch, was jedoch an der sehr begrenzten Auswahl an Beobachtungsgeometrien und an den etwas restriktiven mathematischen Methoden lag, die er verwendete.

In der Folgezeit gab es nur wenige Arbeiten zu dem Thema, erst in den 1980er Jahren wurden wieder Untersuchungen über die Auswirkungen verschiedener Form- und Oberflächeneigenschaften auf Lichtkurven durchgeführt. Eine Untersuchung von 1992 präsentierte dann eine Theorie und Verfahren zur Lichtkurveninversion, die zur Bestimmung der dreidimensionalen Form und/oder der Albedoverteilung auf der Oberfläche eines Körpers aus photometrischen Daten verwendet werden konnten – unter der Annahme einer streng konvexen Form des Körpers.^[5][6] Die vollständige und praktikable Methode der Lichtkurveninversion (LI) wurde dann bis 2001 von Mikko Kaasalainen (1965–2020), Johanna Torppa und Karri Muinonen (* 1961) am Observatorium und Astrophysikalischen Labor der Universität Helsinki entwickelt.^[7][8]

Das Problem der konvexen Inversion kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:

${\displaystyle {\vec {L}}=A\cdot {\vec {g}}}$,

wobei ${\displaystyle {\vec {L}}}$ der Vektor der beobachteten Helligkeiten ist, der über die Matrix ${\displaystyle A}$ mit dem Vektor ${\displaystyle {\vec {g}}}$ verknüpft ist, der die zu lösenden Parameter enthält. Dieser Vektor kann die Krümmungsfunktion des Objekts beschreiben, welche die Form eindeutig bestimmt, er kann aber auch die Albedoverteilung oder das Produkt aus beiden darstellen.

Die Inversion umfasst drei Schritte. Zunächst wird eine Funktion (oder mehrere Funktionen) bestimmt, die Informationen sowohl über die Form als auch über die Albedo-Variation eines Asteroiden enthält. Dieser Schritt ist durchführbar, sofern die Oberfläche streng konvex ist und eine ausreichende Anzahl von Lichtkurven bei verschiedenen Beobachtungsgeometrien und Phasenwinkeln ungleich null vorliegt. Außerdem muss die funktionale Form des Oberflächenstreugesetzes bekannt und von geeignetem Typ sein (z. B. Lambertsches Gesetz oder Lommel-Seeliger-Gesetz). Dieses Inversionsproblem ist mathematisch schlecht gestellt, d. h. kleine Fehler in den Daten können große Auswirkungen auf die Ergebnisse haben. Auch die Anzahl und der Bereich der Beobachtungsgeometrien haben einen signifikanten Einfluss auf die Inversion. Die Verwendung positiv definiter Größen kann jedoch die scheinbare Schlechtgestelltheit des Problems effektiv beseitigen.

Im zweiten Schritt werden separate Ausdrücke für den Kehrwert der Gaußschen Krümmung und der Albedo-Verteilung aus den im ersten Schritt gewonnenen Informationen abgeleitet. Dies ist möglich, wenn die funktionale Form des Streugesetzes als Funktion der Albedo bekannt ist und eine geeignete Form aufweist.

Im dritten Schritt wird das nicht-triviale Problem der Bestimmung des Radiusvektors der Oberfläche aus der Gaußschen Krümmung mithilfe von iterativen Optimierungsverfahren gelöst. Dabei ergeben sich auch Informationen über die Rotationsachse und die Rotationsperiode.^[5][7][8]

Eingangsgrößen für die konvexe Inversion sind photometrische Daten zu dem jeweiligen Asteroiden, die möglichst nicht nur als relative, sondern als genaue scheinbare Helligkeiten vorliegen müssen. Zu jedem Datensatz muss auch genau die Position des Asteroiden auf seiner Umlaufbahn sowie der Phasenwinkel bekannt sein. Quelle für die photometrischen Daten können durch Amateurastronomen oder an professionellen Observatorien durchgeführte Messungen sowie die Auswertung von Archiven oder (auch ältere) wissenschaftliche Veröffentlichungen sein. In neuerer Zeit kommen dafür auch die Daten von Weltraumteleskopen infrage, wie Hubble, Spitzer, Gaia, Transiting Exoplanet Survey Satellite (TESS), Hipparcos und anderen, sowie die veröffentlichten Ergebnisse großer Himmelsdurchmusterungen, wie die Catalina Sky Survey, die Siding Spring Survey, die Mount Lemmon Survey, die Palomar Transient Factory (PTF), die Zwicky Transient Facility (ZTF), das Asteroid Terrestrial-impact Last Alert System (ATLAS), die All-Sky Automated Survey for Supernovae (ASAS-SN), LONEOS und weitere.

Diese Daten können sowohl in „dichter“ (dense) Form, wie z. B. als detaillierte Lichtkurven, aber auch in Form von „verstreuten“ (sparse) Werten mit großem zeitlichen Abstand vorliegen. Ursprünglich wurde nur dichte Photometrie verwendet. Etwa 20 solche dichten Lichtkurven von mindestens vier oder fünf Erscheinungen sind für eine eindeutige Formbestimmung erforderlich. Mit diesem Ansatz waren zunächst etwa 100 Asteroidenmodelle abgeleitet worden. Um die Anzahl der Modelle deutlich zu erhöhen, wurden dann zusätzlich auch verstreute Daten, z. B. aus archivierten Messungen des United States Naval Observatory (USNO) in Arizona verwendet.

Die Auswertung dieser riesigen Datenmengen mit der Methode der konvexen Inversion ist ein äußerst rechenintensiver Prozess. Vor allem bei der Analyse lückenhafter Daten, bei denen die Rotationsperiode – der grundlegende physikalische Parameter – nicht ohne Weiteres aus den Daten bestimmt werden kann, muss ein breites Intervall aller möglichen Perioden dicht abgetastet werden. Dies verlängert die Rechenzeit enorm, und die einzige praktikable Möglichkeit, die Photometrie von Hunderttausenden von Asteroiden effizient zu handhaben, ist der Einsatz von verteiltem Rechnen (distributed computing). Darüber hinaus eignet sich das Problem ideal für die Parallelisierung: Das Periodenintervall kann in kleinere Teile unterteilt werden, die separat durchsucht und deren Ergebnisse anschließend zusammengeführt werden. Auf der Volunteer-Computing-Plattform BOINC läuft dafür seit 2012 die Anwendung Asteroids@Home des Astronomischen Instituts der Karls-Universität in Prag.

Als Ergebnis liefert die Methode der konvexen Inversion (bei erfolgreicher Ausführung) üblicherweise zwei konvexe Gestaltmodelle für zwei alternative Positionen der Rotationsachse, den Drehsinn und die Rotationsperiode. Die beiden alternativen Rotationsachsen besitzen in der Regel ähnliche Neigungswinkel gegen die Ebene der Ekliptik, sind aber näherungsweise um 180° gegeneinander verdreht. Aus den photometrischen Daten allein lässt sich keine Entscheidung für eine der Rotationsachsen ableiten, aber physikalisch unmögliche Gestaltmodelle oder Rotationszustände (wie z. B. eine Rotation um die Längsachse eines länglichen Körpers, was langfristig einen instabilen Zustand darstellt) können zum Ausschluss einer der beiden Alternativen führen. Ebenso lässt sich die Größe der Gestaltmodelle nicht in absoluten Dimensionen beziffern.

Ein in vielen Fällen hilfreiches Verfahren zum Ausschluss der falschen Rotationsachse bietet die Auswertung der Beobachtungen von Sternbedeckungen durch den Asteroiden. Wenn ein solches Ereignis an vielen über die Schattenspur verteilten Beobachtungsorten exakt zeitlich registriert wurde, kann daraus ein angenähertes Konturbild des Asteroiden erstellt und mit den für diesen Zeitpunkt berechneten Umrissbildern der beiden alternativen Gestaltmodelle verglichen werden. Außerdem bietet dies die Möglichkeit einer recht genauen Skalierung des Modells.

Die Ergebnisse der Modellierungen durch Inversionsverfahren werden zentral in der Datenbank DAMIT (Database of Asteroid Models from Inversion Techniques) am Astronomischen Institut der Karls-Universität gespeichert.^[9] Im Oktober 2012 wurden dort die ersten Modelle von 213 Asteroiden aufgenommen, im Jahr 2026 waren bereits Modelle für über 10750 Asteroiden hinterlegt.

Wie bereits im Namen gesagt, kann die Methode der konvexen Inversion nur konvexe Gestaltmodelle berechnen, d. h. konkave Elemente, wie tiefe Täler, Krater oder Einschnürungen, können wegen des Effekts der Selbstbeschattung damit nicht modelliert werden. Allerdings können auffällig flache Bereiche auf den Gestaltmodellen darauf hindeuten, dass an diesen Stellen in Wirklichkeit Konkavitäten vorliegen.

Zur Optimierung der Gestaltmodellierung wurden daher Verfahren entwickelt, um aus zusätzlichen Informationen verbesserte Ergebnisse zu erhalten:

• Der Algorithmus KOALA (Knitted Occultation, Adaptive-optics, and Lightcurve Analysis) wurde 2012 entwickelt. Er verwendet neben den Lichtkurvendaten auch solche von Sternbedeckungen und Aufnahmen, die mit adaptiven Optiksystemen an großen Teleskopen gemacht wurden, wie dem C. Donald Shane Telescope am Lick-Observatorium in Kalifornien, dem Canada-France-Hawaii Telescope (CFHT) und den Teleskopen des Keck-Observatoriums, beide auf dem Mauna Kea auf Hawaiʻi, dem Very Large Telescope (VLT) am Paranal-Observatorium in Chile sowie den Teleskopen des Gemini-Observatoriums auf Hawaiʻi und in Chile. Die erstmals damit für (21) Lutetia berechneten Modelle wurden mit den hochauflösenden Bildern verglichen, die die Raumsonde Rosetta bei ihrem Vorbeiflug an diesem Asteroiden am 10. Juli 2010 aufgenommen hatte und zeigten eine gute Übereinstimmung.^[10]
• Der Algorithmus ADAM (All-Data Asteroid Modeling) folgte 2015, er kann radarastronomische Daten, Bilder, interferometrische (auch im thermischen Infrarotbereich) und photometrische Daten und die Auswertungen von Sternbedeckungen einzeln oder in Kombinationen verarbeiten. ADAM bietet dazu einen Werkzeugkasten mit Bausteinen, kein fertiges Programm. Die Grundidee ist die effiziente Nutzung der Fourier-Transformation zur Verarbeitung von Bildern und eindimensionalen Projektionsdaten.^[11]
• Der Algorithmus SAGE (Shaping Asteroid Models Using Genetic Evolution) aus dem Jahr 2018 verwendet im Gegensatz dazu wieder ausschließlich photometrische Lichtkurvendaten. Er erzeugt daraus mithilfe eines genetischen Evolutionsalgorithmus nicht-konvexe Formen von Asteroiden, indem zufällige Populationen von Formen und Rotationsachsenausrichtungen aus einer mutierten Ausgangsform erzeugt werden und der Prozess iterativ so lange wiederholt wird, bis er zu einem stabilen globalen Minimum konvergiert.^[12]

• DAMIT (Database of Asteroid Models from Inversion Techniques, englisch).
• Asteroids@Home, Projekthomepage (englisch).