Koordinatenfläche

Beispiel (Zylinderkoordinaten)

Die Koordinatentransformation von Zylinderkoordinaten ${\displaystyle (r,\varphi ,z)}$ zu kartesischen Koordinaten ${\displaystyle (x,y,z)}$ lautet:

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle \varphi =\arctan {\frac {y}{x}}}$

${\displaystyle z=z}$.

Die lokalen kontravarianten Basisvektoren ${\displaystyle \textstyle {\vec {b}}^{1},{\vec {b}}^{2}}$ und ${\displaystyle \textstyle {\vec {b}}^{3}}$ an einem Punkt werden in der Tensorschreibweise mit einem oben stehenden Index versehen und stehen senkrecht auf den Koordinatenflächen. Rechnerisch ergeben sie sich als Gradienten der drei Funktionen der Koordinatentransformation, denn der Gradient steht stets senkrecht auf den Niveauflächen (r = konst., ${\displaystyle \varphi }$ = konst., z = konst.) und zeigt in Richtung des stärksten Anstieges. Wegen

${\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial x}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}2x={\frac {x}{r}}={\frac {r\cos \varphi }{r}}=\cos \varphi }$ ,

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x}}=-{\frac {1}{1+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}}}{\frac {y}{x^{2}}}=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}=-{\frac {y}{r^{2}}}=-{\frac {r\sin \varphi }{r^{2}}}=-{\frac {1}{r}}\sin \varphi }$

und ähnlichen Rechnungen ergeben sich die kontravarianten Basisvektoren

${\displaystyle {\vec {b}}^{1}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial r}{\partial x}}\\{\frac {\partial r}{\partial y}}\\{\frac {\partial r}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {b}}^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\\{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{r}}{\begin{pmatrix}\ -\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {b}}^{3}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial z}{\partial x}}\\{\frac {\partial z}{\partial y}}\\{\frac {\partial z}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$

an den entsprechenden Punkten.

Die Basisvektoren haben die Längen

${\displaystyle |{\vec {b}}^{1}|={\sqrt {{\vec {b}}^{1}{\vec {b}}^{1}}}=1,\quad |{\vec {b}}^{2}|={\sqrt {{\vec {b}}^{2}{\vec {b}}^{2}}}={\frac {1}{r}},\quad |{\vec {b}}^{3}|={\sqrt {{\vec {b}}^{3}{\vec {b}}^{3}}}=1}$

und sind paarweise zueinander orthogonal, denn es gilt:

${\displaystyle {\vec {b}}^{i}{\vec {b}}^{j}=0\quad (i,j\in \{1,2,3\},i\neq j)}$.

Die Zylinderkoordinaten bilden somit ein orthogonales Koordinatensystem.