Kähler-hyperbolische Mannigfaltigkeit

Satz (Gromow): Eine geschlossene Kähler-Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung ist Kähler-hyperbolisch. Jede Kähler-Mannigfaltigkeit, die homotopieäquivalent zu einer geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung ist, ist Kähler-hyperbolisch.

Weitere hinreichende Bedingungen für Kähler-Hyperbolizität von Kähler-Mannigfaltigkeiten:

• ${\displaystyle \pi _{1}M}$ ist hyperbolisch und ${\displaystyle \pi _{2}M=0}$
• ${\displaystyle M}$ ist Untermannigfaltigkeit einer Kähler-hyperbolischen Mannigfaltigkeit
• ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ ist ein Hermitescher symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ ohne euklidischen Faktor

McMullen bewies, dass der Teichmüller-Raum Kähler-hyperbolisch ist.^[1]

Gromow bewies, dass für Kähler-hyperbolische Mannigfaltigkeiten die Hopf-Vermutung richtig ist. Diese besagt, dass für Riemannsche 2n-Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung die Ungleichung

${\displaystyle (-1)^{n}\chi (M)>0}$

gilt. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \chi (M)}$ die Euler-Charakteristik.

Jede Kähler-hyperbolische Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$ ist Kobayashi-hyperbolisch, d. h. jede holomorphe Abbildung ${\displaystyle \mathbb {C} \to X}$ ist konstant.

• Werner Ballmann: Lectures on Kähler manifolds. (= ESI Lectures in Mathematics and Physics). European Mathematical Society (EMS), Zürich 2006, ISBN 3-03719-025-6, Kapitel 8. (people.mpim-bonn.mpg.de, pdf)
• M. Gromov: Kähler hyperbolicity and L²-Hodge theory. In: J. Differential Geom. Band 33, Nr. 1, 1991, S. 263–292. (projecteuclid.org, pdf)