Leibnizregel für Parameterintegrale

Gegeben sei das Parameterintegral

${\displaystyle F(t)=\int _{a(t)}^{b(t)}f(t,x)\mathrm {d} x,}$

wobei die Funktion ${\displaystyle f\colon (\alpha ,\beta )\times (c,d)\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle (t,x)\mapsto f(t,x)}$, stetig mit stetiger partieller Ableitung nach der ersten Variablen, ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}f\colon (\alpha ,\beta )\times (c,d)\to \mathbb {R} }$ ist und ${\displaystyle a,b\colon (\alpha ,\beta )\to (c,d)}$ stetig differenzierbar sind. Dann ist ${\displaystyle F}$ auf dem offenen Intervall ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ stetig differenzierbar.

Für die Ableitung gilt die Leibnizregel für Parameterintegrale^[1]:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}F(t)=f(t,b(t))b'(t)-f(t,a(t))a'(t)+\int _{a(t)}^{b(t)}{\tfrac {\partial }{\partial t}}f(t,x)\mathrm {d} x.}$

Zur Herleitung kann man die Funktion ${\displaystyle \textstyle G(t,u,v)=\int _{u}^{v}f(t,x)\mathrm {d} x}$ definieren und zeigen, dass sie auf ${\displaystyle (\alpha ,\beta )\times (c,d)\times (c,d)}$ stetig differenzierbar ist: ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}G}$ existiert wegen der Differenzierbarkeit des Parameterintegrals und ist stetig wegen der Stetigkeit des Parameterintegrals. Existenz und Stetigkeit von ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial u}}G}$ und ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial v}}G}$ folgen aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Mit der Kettenregel ergibt sich dann

${\displaystyle {\begin{aligned}F'(t)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}G(t,a(t),b(t))={\tfrac {\partial }{\partial t}}G(t,a(t),b(t))\cdot 1+{\tfrac {\partial }{\partial u}}G(t,a(t),b(t))a'(t)+{\tfrac {\partial }{\partial v}}G(t,a(t),b(t))b'(t)\\&=\int _{a(t)}^{b(t)}{\tfrac {\partial }{\partial t}}f(t,x)\mathrm {d} x-f(t,a(t))a'(t)+f(t,b(t))b'(t).\end{aligned}}}$

Anwendung findet die Leibnizregel für Parameterintegrale beispielsweise in der Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen in der Variationsrechnung bei der Extremalisierung von (parametrisierten) Funktionalen.

• Rob Harron: The Leibniz Rule. In: MAT-203. Abgerufen im 1. Januar 1 (englisch).