Lemma von Nakayama

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Wir nehmen ${\displaystyle {\mathfrak {a}}M=M}$ an. Es sei ${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{n}\}}$ ein minimales Erzeugendensystem von ${\displaystyle M}$. Da ${\displaystyle M}$ nichttrivial ist, folgt ${\displaystyle n\geq 1}$ und ${\displaystyle u_{n}\not =0}$.

Da nach Annahme ${\displaystyle u_{n}\in {\mathfrak {a}}M}$, gäbe es dann eine Gleichung der Form ${\displaystyle u_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}}$ mit ${\displaystyle a_{i}\in {\mathfrak {a}}}$, also ${\displaystyle (1-a_{n})u_{n}=\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}u_{i}}$.

Da ${\displaystyle a_{n}}$ im Jacobson-Radikal liegt, ist der Faktor ${\displaystyle 1-a_{n}}$ eine Einheit. Das Erzeugendensystem ist also nicht minimal und damit die Annahme widerlegt.

• Ist ${\displaystyle M}$ ein endlich erzeugter ${\displaystyle R}$-Modul, ${\displaystyle N}$ ein Untermodul und ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset J(R)}$ ein Ideal, so gilt

${\displaystyle M={\mathfrak {a}}M+N\ \Rightarrow \ M=N}$.

Diese Folgerung, die zu obigem Lemma äquivalent ist und daher auch als Lemma von Nakayama bezeichnet wird^[2], kann man zum Heben von Basen verwenden:

• Es seien ${\displaystyle R}$ ein lokaler Ring, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ sein maximales Ideal und ${\displaystyle \kappa$ :=R/{\mathfrak {m}}} der Restklassenkörper.

Sind dann ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ Urbilder einer Basis des ${\displaystyle \kappa }$-Vektorraums ${\displaystyle M/{\mathfrak {m}}M}$, so erzeugen die ${\displaystyle x_{i}}$ den Modul ${\displaystyle M}$.