Lindelöfsche Vermutung

Die Lindelöfsche Vermutung ist eine 1905 von Ernst Leonard Lindelöf aufgestellte^[1] und bis heute unbewiesene Vermutung über die Ordnung der Riemannschen Zeta-Funktion ${\displaystyle \zeta (s)}$ entlang der „kritischen Geraden“ ${\displaystyle 1/2+\mathrm {i} t}$.

Die Lindelöfsche Vermutung besagt, dass ${\displaystyle |\zeta (1/2+\mathrm {i} t)|={\mathcal {O}}(t^{\epsilon })}$ für ${\displaystyle t\to \infty }$ und jedes ${\displaystyle \epsilon >0}$. Dabei ist ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ das Bachmann-Landau-Symbol.

Bisher konnten nur schwächere Aussagen der Form ${\displaystyle |\zeta (1/2+\mathrm {i} t)|={\mathcal {O}}(t^{k+\epsilon })}$ bewiesen werden: Der 1930 von Johannes van der Corput und Jurjen Koksma ermittelte Wert^[2] ${\displaystyle k=1/6=0{,}166\dots }$ konnte seither schrittweise leicht verbessert werden, zuletzt auf ${\displaystyle k=89/570=0{,}156\dots }$ von Martin Huxley^[3].

Die Lindelöfsche Vermutung ist schwächer als die Riemannsche Vermutung: Mit einem Beweis der Riemannschen Vermutung wäre auch die Lindelöfsche Vermutung bewiesen, nicht jedoch umgekehrt.