Lorenz-Asymmetrie-Koeffizient

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Dieser ist definiert als:

${\displaystyle S=F(\mu )+L(\mu ),}$

wobei die Funktionen ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle L}$ wie bei der Lorenz-Kurve definiert sind und ${\displaystyle \mu }$ das arithmetische Mittel ist. Falls ${\displaystyle S>1}$ ist, dann ist der Punkt, in dem die Lorenz-Kurve parallel zur perfekten Gleichheitsgerade (line of perfect equality) verläuft, über der Symmetrieachse. Dementsprechend liegt der Punkt, in dem die Lorenz-Kurve parallel zur perfekten Gleichheitsgerade ist, bei ${\displaystyle S<1}$ unter der Symmetrieachse.

Falls die Daten aus einer logarithmischen Normalverteilung stammen, dann ist ${\displaystyle S=1}$, das heißt, die Lorenz-Kurve ist also symmetrisch.^[1]

Der Stichprobenparameter ${\displaystyle S}$ lässt sich aus den ${\displaystyle n}$ geordneten Datensätzen ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{m},x_{m+1},\ldots ,x_{n}\right)}$ mittels folgender Gleichungen berechnen:

${\displaystyle \delta ={\frac {\mu -x_{m}}{x_{m+1}-x_{m}}},}$

${\displaystyle F(\mu )={\frac {m+\delta }{n}},}$

${\displaystyle L(\mu )={\frac {L_{m}+\delta x_{m+1}}{L_{n}}},}$

wobei ${\displaystyle m}$ die Anzahl an Individuen mit einer Größe kleiner als ${\displaystyle \mu }$ ist^[1] und ${\displaystyle L_{i}=\sum _{j=1}^{i}x_{j}}$.

• Christian Damgaard, Jacob Weiner: Describing inequality in plant size or fecundity. 4. Aufl. 81. Bd. Ecology, 2000. doi:10.1890/0012-9658(2000)081[1139:DIIPSO]2.0.CO;2. S. 1139–1142.