Madelunggleichungen

${\displaystyle S}$ wird als Wirkung interpretiert, ${\displaystyle \nabla S}$ als Impuls. Die Madelunggleichungen lassen sich als Quanten-Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik) deuten wie folgt:^[2][3]

1. ${\displaystyle \partial _{t}\rho _{m}+\nabla \cdot (\rho _{m}{\vec {v}})=0,}$
2. ${\displaystyle {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=\partial _{t}{\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot \nabla {\vec {v}}=-{\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } (Q+V),}$

wobei

• ${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},t)=\mathbf {\nabla } S/m}$ (Strömungsgeschwindigkeit) bzw. ${\displaystyle \nabla S=m\cdot {\vec {v}}}$ (Impuls)
  ​
• ${\displaystyle \rho _{m}=m\rho =m|\psi |^{2}}$ (Massedichte) mit Normierungsbedingung ${\displaystyle \int \rho ({\vec {x}},t)d^{3}x=1}$ bzw. ${\displaystyle \int \rho _{m}({\vec {x}},t)d^{3}x=m}$ zu jeder Zeit ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho _{m}}}}{\sqrt {\rho _{m}}}}}$ (Bohmsches Quantenpotential).

Aufgrund ihrer Nichtlinearität sind die Madelunggleichungen schwierig zu handhaben, zeigen aber, dass es nichtlineare Gleichungen gibt, die sich auf lineare Gleichungen zurückführen lassen.

• De-Broglie-Bohm-Theorie

• R. Tsekov: Dissipative Time Dependent Density Functional Theory. In: International Journal of Theoretical Physics. 48. Jahrgang, 2009, S. 2660​–2664, doi:10.1007/s10773-009-0054-6, arxiv:0903.3644, bibcode:2009IJTP...48.2660T (englisch).