Moyal-Produkt

Seien ${\displaystyle f,g\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{2n})}$ zwei glatte Funktionen, deren Funktionsargumente mit ${\displaystyle (p,q)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$ notiert werden. Dann ist das Moyal-Produkt, mittels ${\displaystyle \star }$ notiert, definiert als

${\displaystyle {\begin{aligned}f\star g:&=f\exp \left({\frac {\mathrm {i} \hbar }{2}}\left({\overset {\leftarrow }{\partial _{q}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{p}}}-{\overset {\leftarrow }{\partial _{p}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{q}}}\right)\right)g\\:&=\sum \limits _{n=0,m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!n!}}\left({\frac {\mathrm {i} \hbar }{2}}\right)^{n+m}\left(\partial _{p}^{m}\partial _{q}^{n}f\right)\left(\partial _{q}^{m}\partial _{p}^{n}g\right)\,,\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle \hbar }$ die reduzierte Planck-Konstante ist und ${\displaystyle {\overset {\leftarrow }{\partial }}}$ die Ableitung von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle {\overset {\rightarrow }{\partial }}}$ die von ${\displaystyle g}$ bedeutet.

Dabei wird der Operator

${\displaystyle \star =\exp \left({\frac {\mathrm {i} \hbar }{2}}\left({\overset {\leftarrow }{\partial _{q}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{p}}}-{\overset {\leftarrow }{\partial _{p}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{q}}}\right)\right)}$

mittels der Bidifferentialoperator-Notation als zweistellige Verknüpfung geschrieben, das heißt der Differentialoperator ${\displaystyle \star }$ wirkt sowohl auf die Funktion vor als auch auf die Funktion hinter dem Operatorsymbol.

Definitionsgemäß kann das Moyal-Produkt als eine Reihe mit gewissen Differentialoperatoren ${\displaystyle C_{k}}$ geschrieben werden:

${\displaystyle f\star g=fg+\sum _{k=1}^{\infty }\hbar ^{k}C_{k}(f,g),}$

Das Produkt ${\displaystyle \star }$ hat folgende Eigenschaften:

• ${\displaystyle f\star g=fg+{\mathcal {O}}(\hbar )}$
• ${\displaystyle f\star g-g\star f=i\hbar \{f,g\}+{\mathcal {O}}(\hbar ^{3})}$  (für ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ siehe Poisson-Klammer)
• ${\displaystyle f\star 1=1\star f=f}$   (1 ist die konstante Funktion mit Wert 1)
• ${\displaystyle {\overline {f\star g}}={\overline {g}}\star {\overline {f}}}$   (der Querstrich steht für die komplexe Konjugation)

Auch wenn das Moyal-Produkt nach Moyal benannt ist, wurde es erstmals 1946 von Groenewold in seiner Doktorarbeit eingeführt.^[4] In den 1970ern wurde dann das formelle Sternprodukt eingeführt (Bayen, Flato, Frønsdal, Lichnerowicz, und Sternheimer).^[5]

1983 zeigten Lecomte und De Wilde, dass auf jeder symplektischen Mannigfaltigkeit Sternprodukte existieren.^[6] 1994 zeigte B.V. Fedosov, wie Sternprodukte auf symplektischen Mannigfaltigkeiten konstruiert werden.^[7] 1997 bewies Maxim Konzewitsch, dass auf jeder endlichdimensionalen Poisson-Mannigfaltigkeit Sternprodukte existieren.^[8] Für diese und andere Arbeiten bekam er die Fields-Medaille.^[9]