Nowikow-Vermutung

Sei ${\displaystyle M}$ eine geschlossene, orientierbare, ${\displaystyle n}$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, ${\displaystyle \pi$ :=\pi _{1}M} ihre Fundamentalgruppe und ${\displaystyle f\colon M\to B\pi }$ deren klassifizierende Abbildung. Zu jeder Kohomologieklasse ${\displaystyle \alpha \in H^{*}(B\pi$ ;\mathbb {Q} )} definiert man eine höhere Signatur ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(M)}$ durch

${\displaystyle \sigma _{\alpha }(M):=\langle L(M)\cup f^{*}\alpha ,\left[M\right]\rangle }$,

wobei ${\displaystyle L(M)}$ die L-Klasse von ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle \cup }$ das Cup-Produkt, ${\displaystyle \left[M\right]}$ die Fundamentalklasse und ${\displaystyle \langle .,.\rangle }$ die Kronecker-Paarung bezeichnet.

Die Nowikow-Vermutung besagt, dass für jedes gegebene ${\displaystyle \alpha \in H^{*}(B\pi$ ;\mathbb {Q} )} die höhere Signatur eine Homotopieinvariante geschlossener, orientierbarer Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi }$ ist, d. h. homotopieäquivalente, geschlossene, orientierbare Mannigfaltigkeiten haben dieselben höheren Signaturen.

Man sagt, dass die Nowikow-Vermutung für eine Gruppe ${\displaystyle \pi }$ bewiesen ist, wenn sie für alle Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi }$ bewiesen wurde.

• Nowikow bewies seine Vermutung für abelsche Gruppen.
• Kasparow bewies mittels KK-Theorie die Nowikow-Vermutung für Gruppen, die eine eigentliche Wirkung als Isometrien einer einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeit nichtpositiver Krümmung besitzen, insbesondere also diskrete Untergruppen einer Lie-Gruppe mit endlich vielen Zusammenhangskomponenten.^[1]
• Connes und Moscovici bewiesen die Nowikow-Vermutung für Gromov-hyperbolische Gruppen.^[2] Die im Beweis verwendete Surjektivität des Homomorphismus von beschränkter Kohomologie in die Gruppenkohomologie wurde von Mineyev bewiesen.^[3]
• Higson und Kasparow bewiesen die Nowikow-Vermutung für Gruppen, die eine eigentliche Wirkung als Isometrien des Hilbertraums besitzen, insbesondere für mittelbare Gruppen.^[4]
• Yu bewies die Nowikow-Vermutung für Gruppen endlicher asymptotischer Dimension^[5] und allgemeiner für Gruppen, die grob in den Hilbertraum eingebettet werden können.^[6] Letzteres trifft auf alle linearen Gruppen^[7] und auf Untergruppen von ${\displaystyle Out(F_{n})}$^[8] zu.
• Hamenstädt bewies, dass Abbildungsklassengruppen exakt („boundary amenable“) sind, woraus für diese und alle ihre Untergruppen die Nowikow-Vermutung folgt.^[9]

• S. P. Nowikow: Analogues hermitiens de la K-théorie. In: Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 2, S. 39–45. Gauthier-Villars, Paris (1971)
• S. Ferry, A. Ranicki, J. Rosenberg: A history and survey of the Novikov conjecture. In: Novikov conjectures, index theorems and rigidity, Vol. 1 (Oberwolfach, 1993), London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 226, S. 7–66. Cambridge Univ. Press, Cambridge (1995).
• M. Kreck, W. Lück: The Novikov conjecture, Geometry and Algebra, Oberwolfach Seminars, vol. 33. Birkhäuser Verlag, Basel (2005)
• J. Rosenberg: Novikov's conjecture, "Open Problems in Mathematics", J. F. Nash, Jr., and M. Th. Rassias, eds, Springer, 2016, S. 377–402
• G. Yu: The Novikov conjecture, Russian Mathematical Surveys 2019

• S. P. Nowikow: Novikov conjecture (Scholarpedia)
• Novikov Conjecture (Manifold Atlas)