Numerische Mechanik
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Die Numerische Mechanik (englisch computational mechanics) befasst sich mit der Untersuchung und Entwicklung numerischer Methoden für die Lösung von ingenieurwissenschaftlichen Problemstellungen, deren physikalisches Verhalten den Prinzipien der Mechanik unterliegt und durch adäquate mathematische Modelle beschrieben werden kann.[1] Ziel ist die Lösung einer technischen Aufgabe zahlenmäßig mit erträglichem Rechenaufwand bis in alle Einzelheiten auszuwerten.[2]
Ingenieure sind häufig auf numerische Methoden angewiesen, da nur für sehr spezielle Probleme oder nur unter groben Vereinfachungen und unrealistischen Randbedingungen analytisch geschlossene Lösungen existieren.[3] Nach 1950 erschienen die ersten Digitalrechner, mit denen praktische Probleme angegriffen werden konnten.[4] Mittlerweile können auch für komplexe Systeme Computermodelle erstellt werden und die wirklichkeitsnahen Simulationsergebnisse haben dazu geführt, dass die numerische Mechanik ein wichtiges Werkzeug in der virtuellen Produktentwicklung für die Industrie geworden ist, siehe Bild. Auf der Basis von Theorie, Experiment, Numerik und Informatik werden zunehmend intelligenter werdende Produkte, Prozesse und Verfahren virtuell entworfen und entwickelt. Die numerische Mechanik gestattet durch einen detaillierten Einblick in die Vorgänge und Untersuchung von Modellvarianten Entwicklungszeiten und -kosten zu reduzieren.[1]
Die Finite-Elemente-Methode gehört zu den wichtigsten und am häufigsten benutzten numerischen Rechenverfahren in der Festkörpermechanik.[3] Numerische Mechanik umfasst auch die Numerische Strömungsmechanik und Mehrkörpersimulation.
Mathematische Gebiete
In der numerischen Mechanik werden Methoden angewendet für die
- Interpolation und Approximation,
- numerische Differentiation und Integration,
- numerische Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen,
- numerische Lösung von partiellen Differentialgleichungen,
- Lösung großer linearer Gleichungssysteme, siehe Numerische lineare Algebra,
- numerische Optimierung und
- nichtlineare Gleichungssysteme.
Die zu lösenden Gleichungen können die folgenden Formen aufweisen:[5.1]
| Gleichungstyp | Vorkommen | Lösungsverfahren |
|---|---|---|
| Algebraische Gleichungen | Gleichgewichtsbedingungen in der Statik starrer Körper, Gleichungen die bei den Lösern für partielle Differentialgleichungen, s. u, anfallen | Methoden der numerischen linearen Algebra |
| Eigenwerte und -vektoren charakterisieren grundlegende Eigenschaften eines Systems, beispielsweise das Schwingungsverhalten. | Numerische Methoden der Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren | |
| Gewöhnliche Differentialgleichung | Bewegung des Massepunkts, Schwingungsgleichung, bei denen Anfangswertprobleme zu lösen sind, bei denen sich das Systemverhalten aus einem vorgegebenen Ausgangszustand heraus entwickelt. | Einschrittverfahren, insbesondere das Runge-Kutta-Verfahren, Mehrschrittverfahren sowie die Finite-Differenzen-Methode, Mehrkörpersimulation |
| Partielle Differentialgleichungen | Festkörpermechanik, Scheibentheorie, Plattentheorie, Fluidmechanik, wo sich das Systemverhalten innerhalb eines Gebiets infolge der Vorgaben auf dessen Rand ergibt (Randwertproblem.) | Finite-Elemente-Methode, Randelementmethode, Finite-Volumen-Verfahren, Lattice-Boltzmann-Methode, Finite-Differenzen-Methode |
| Anfangsrandwertprobleme | Diese sind Kombinationen der letzten beiden Aufgaben, wo häufig Anfangswerte zu einem Zeitpunkt und zeitvariable Werte auf Oberflächen vorgegeben werden. | siehe oben |
| Variationsrechnung | Balken und Stabwerke, wo die Formänderungsenergie minimiert wird | Ritz-Verfahren,[5.2] Downhill-Simplex-Verfahren und andere Optimierungsmethoden, insbesondere Topologieoptimierung |
