Oszillierendes Integral

Definition

Sei ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene Menge. Eine glatte Funktion ${\displaystyle \phi \in C^{\infty }(X\times \mathbb {R} ^{n}\backslash \{0\})}$ heißt Phasenfunktion, falls für alle ${\displaystyle (x,\xi )\in X\times \mathbb {R} ^{n}\backslash \{0\}}$

• der Imaginärteil nichtnegativ ist, das heißt

${\displaystyle \operatorname {Im} \phi (x,\xi )\geq 0}$.

• die Funktion homogen in der zweiten Variablen ist, das heißt

${\displaystyle \phi (x,\lambda \xi )=\lambda \phi (x,\xi )}$ für alle ${\displaystyle \lambda >0}$.

• das Differential nicht verschwindet, das heißt

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \phi (x,\xi )}{\mathrm {d} (x,\xi )}}\neq 0}$.

Beispiel

• Die Abbildungen ${\displaystyle (x,\xi )\mapsto \pm \langle x,\xi \rangle }$, wobei ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ das Standardskalarprodukt bezeichnet, sind Phasenfunktionen, welche bei der Fourier-Transformation und ihrer Rücktransformation auftreten.

Fourier-Transformation auf L²

Die Fourier-Transformation kann auf dem Schwartz-Raum ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ durch den Integraloperator

${\displaystyle I_{-tx}(f)(t)={\mathcal {F}}(f)(t)={\frac {1}{\left(2\pi \right)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\mathrm {i} tx}f(x)\,\mathrm {d} x}$

definiert werden. Mittels eines Dichtheitsargument kann man diesen Operator auf ${\displaystyle L^{2}}$ fortsetzen, jedoch konvergiert das Fourier-Integral nicht für jede ${\displaystyle L^{2}}$-Funktion. Der Operator muss also anders dargestellt werden.

Raum der Symbolklassen

Mit ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(X)}$ wird der Raum der Distributionen auf ${\displaystyle X}$ und mit ${\displaystyle S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{n})}$ der Raum der Symbolklassen bezeichnet. Sei ${\displaystyle \phi }$ eine Phasenfunktion und sei ${\displaystyle 0<\rho \leq 1}$, ${\displaystyle 0\leq \delta <1}$. Dann gibt es genau eine Möglichkeit eine Abbildung

${\displaystyle I_{\phi }:S_{\rho ,\delta }^{\infty }(X\times \mathbb {R} ^{n})=\bigcup _{m\in \mathbb {R} }S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(X)}$

zu definieren, so dass für ${\displaystyle a\in S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{n}),\ m<-n}$ das Integral

${\displaystyle I_{\phi }(a)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\phi (x,\xi )}a(x,\xi )\mathrm {d} \xi }$

existiert und die Abbildung ${\displaystyle I_{\phi }:S_{\rho ,\delta }^{\infty }(X\times \mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(X)}$ stetig ist.

Oszillierendes Integral

Sei ${\displaystyle \chi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ eine Abschneidefunktion mit ${\displaystyle \chi (\xi )=1}$ für ${\displaystyle |\xi |\leq 1}$ und ${\displaystyle \chi (\xi )=0}$ für ${\displaystyle |\xi |\geq 2}$. Außerdem sei ${\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{N}\to \mathbb {R} }$ eine Phasenfunktion und ${\displaystyle a\in S^{m}(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{N})}$ eine Symbolklasse. Nun setzt man

${\displaystyle I_{\phi }(a)(x):=\int _{\mathbb {R} ^{N}}e^{i\phi (x,\xi )}a(x,\xi )\mathrm {d} \xi$ :=\lim _{j\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{N}}\chi \left({\tfrac {\xi }{j}}\right)e^{i\phi (x,\xi )}a(x,\xi )\mathrm {d} \xi \,}

wobei der Grenzwert im Sinne von Distributionen zu verstehen ist. Das heißt, der Grenzwert ist durch

${\displaystyle \langle I_{\phi }(a),u\rangle =\lim _{j\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{N}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi \left({\tfrac {\xi }{j}}\right)e^{i\phi (x,\xi )}a(x,\xi )u(x)\mathrm {d} x\mathrm {d} \xi }$

für alle Testfunktionen ${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\cong C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ erklärt. Der Integralausdruck ${\displaystyle I_{\phi }}$ heißt oszillierendes Integral.

Oszillierender Integraloperator

Sei ${\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{N}\to \mathbb {R} }$wieder eine Phasenfunktion und ${\displaystyle a\in S^{m}(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{N})}$ eine Symbolklasse. Die Abbildung

${\displaystyle u\mapsto T_{\lambda }(u)(x):=I_{\phi }(au)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{N}}e^{i\lambda \phi (x,\xi )}a(x,\xi )u(\xi )\mathrm {d} \xi }$

ist ein oszillierender Integraloperator.

Fourier-Transformation

Sei ${\displaystyle a\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ eine glatte Funktion mit kompaktem Träger und mit ${\displaystyle a(0,0)={\tfrac {1}{\left(2\pi \right)^{\frac {n}{2}}}}}$ und sei ${\displaystyle \phi (x,\xi )=-\langle x,\xi \rangle }$ die Phasenfunktion. Durch Reskalieren kann man den oszillierenden Integraloperator

${\displaystyle T_{\lambda }(u)(x)=I_{\phi }(au)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i\lambda \langle x,\xi \rangle }a(x,\xi )u(\xi )\mathrm {d} \xi }$

in

${\displaystyle {\tilde {T}}_{\lambda }(u)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i\langle x,\xi \rangle }a\left({\frac {x}{\sqrt {\lambda }}},{\frac {\xi }{\sqrt {\lambda }}}\right)u(\xi )\mathrm {d} \xi }$

transformieren. Diese Familie von Operatoren ist gleichmäßig beschränkt auf ${\displaystyle L^{2}}$ und für ${\displaystyle \lambda \to \infty }$ erhält man die Fourier-Transformation

${\displaystyle {\tilde {T}}_{\infty }(u)(x)={\mathcal {F}}(u)(x)={\frac {1}{\left(2\pi \right)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\mathrm {i} x\xi }u(\xi )\,\mathrm {d} \xi }$.

Pseudodifferentialoperator

Mit Hilfe des oszillierenden Integrals definiert man einen speziellen stetigen und linearen Operator

${\displaystyle T\colon {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

auf den Schwartz-Raum, welcher durch

${\displaystyle {\begin{aligned}T(u)(x)=I_{\langle x,\xi \rangle }(a\,{\mathcal {F}}(u))(x)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\langle x,\xi \rangle }a(x,\xi ){\mathcal {F}}(u)(\xi )\mathrm {d} \xi \\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\langle x,\xi \rangle }a(x,\xi )\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i\langle y,\xi \rangle }u(y)\mathrm {d} y\,\mathrm {d} \xi \\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\langle x-y,\xi \rangle }a(x,\xi )u(y)\mathrm {d} y\,\mathrm {d} \xi \end{aligned}}}$

gegeben ist. Die Funktion ${\displaystyle a\in S^{m}(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n})}$ ist eine Symbolfunktion und der Operator ${\displaystyle T}$ heißt Pseudodifferentialoperator. Es ist eine Verallgemeinerung eines Differentialoperators. Der Integralkern dieses Operators lautet

${\displaystyle K(x,y):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\langle x-y,\xi \rangle }a(x,\xi )\mathrm {d} \xi }$

und ist ein typischer Schwartz-Kern.