Partieller Korrelationskoeffizient

Eine Korrelation zwischen zwei statistischen Variablen (oder Merkmalen) ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ kann unter Umständen auf den Einfluss, die eine dritte Variable ${\displaystyle U}$ (ein Störfaktor) auf beide Variablen hat, zurückgehen. Um die Korrelation zwischen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ zu messen, die verbleibt, wenn der Einfluss von ${\displaystyle U}$ eliminiert ist, gibt es das Konzept der partiellen Korrelation^[1][2][3] (auch Partialkorrelation genannt).

• Ein partieller Korrelationskoeffizient hat Werte im Intervall ${\displaystyle [-1,1]}$.
• Im Fall ${\displaystyle \varrho _{XU}=\varrho _{YU}=0}$ gilt ${\displaystyle \varrho _{(X,Y)/U}=\varrho _{XY}}$.
• Im Fall ${\displaystyle r_{XU}=r_{YU}=0}$ gilt ${\displaystyle r_{(X,Y)/U}=r_{XY}}$.
• Der partielle Korrelationskoeffizient stimmt unter bestimmten Bedingungen (jedoch nicht im Allgemeinen) mit der bedingten Korrelation überein^[4].

• Für die Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ und ${\displaystyle U}$ können die linearen Regressionen von ${\displaystyle X}$ auf ${\displaystyle U}$,

${\displaystyle {\hat {X}}=\alpha _{X}+\beta _{X}U\;,}$

und von ${\displaystyle Y}$ auf ${\displaystyle U}$,

${\displaystyle {\hat {Y}}=\alpha _{Y}+\beta _{Y}U\;,}$

gebildet werden. Die zugehörigen Residualvariablen (Regressionsreste)

${\displaystyle V:=X-{\hat {X}}}$

${\displaystyle W:=Y-{\hat {Y}}}$

enthalten diejenigen Anteile der Variablen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$, die nicht durch einen linearen Zusammenhang mit ${\displaystyle U}$ erklärt werden können. Es gilt dann

${\displaystyle \varrho _{VW}=\varrho _{(X,Y)/U}\;.}$

Diese Darstellung zeigt:

1. Der partielle Korrelationskoeffizient ist ein gewöhnlicher Korrelationskoeffizient der Residualvariablen ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ und hat damit die Eigenschaften eines gewöhnlichen Korrelationskoeffizienten.
2. Die Ausschaltung des Einflusses der Variablen ${\displaystyle U}$ erfolgt durch lineare Regressionen, so dass nichtlineare Einflüsse von ${\displaystyle U}$ nur teilweise erfasst werden oder unentdeckt bleiben.
3. Eine Verallgemeinerung des Konzeptes auf mehrere Einflussfaktoren ${\displaystyle U_{1},\dots ,U_{m}}$ ist möglich, indem die linearen Einfachregressionen auf die Variable ${\displaystyle U}$ durch multiple lineare Regressionen auf mehrere Variablen ${\displaystyle U_{1},\dots ,U_{m}}$ ersetzt werden und dann die Korrelationen der resultierenden Residualvariablen betrachtet werden.

• Für beobachtete Werte ${\displaystyle (x_{i},y_{i},u_{i})}$, ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$, seien

${\displaystyle {\hat {x}}_{i}=a_{X}+b_{X}u_{i}\;,}$

${\displaystyle {\hat {y}}_{i}=a_{X}+b_{Y}u_{i}}$

die geschätzten Werte aus linearen Regressionen von ${\displaystyle X}$ auf ${\displaystyle U}$ bzw. von ${\displaystyle Y}$ auf ${\displaystyle U}$ nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für die empirische Korrelation der Regressionsreste

${\displaystyle v_{i}:=x_{i}-{\hat {x}}_{i},\quad i=1,\dots ,n}$

${\displaystyle w_{i}:=y_{i}-{\hat {y}}_{i},\quad i=1,\dots ,n}$

gilt dann

${\displaystyle r_{VW}=r_{(X,Y)/U}\;.}$

Im inferenzstatistischen Kontext repräsentiert die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von ${\displaystyle (X,Y,U)}$ die Verteilung der drei Merkmale in der Grundgesamtheit und ${\displaystyle \varrho _{(X,Y)/U}}$ beschreibt die (unbekannte) partielle Korrelation in der Grundgesamtheit.

Die beobachteten Werte ${\displaystyle (x_{i},y_{i},u_{i})}$ für ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ werden als realisierte Werte von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvektoren ${\displaystyle (X_{i},Y_{i},U_{i})}$ für ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ aufgefasst, die jeweils die Wahrscheinlichkeitsverteilung von ${\displaystyle (X,Y,U)}$ besitzen.

In diesem Zusammenhang sind die aus den beobachteten Werten berechneten empirischen Korrelationskoeffizienten ${\displaystyle r_{XY}}$, ${\displaystyle r_{XU}}$ und ${\displaystyle r_{YU}}$ Schätzwerte für die Korrelationskoeffizienten ${\displaystyle \varrho _{XY}}$, ${\displaystyle \varrho _{XU}}$ und ${\displaystyle \varrho _{YU}}$ und der empirische partielle Korrelationskoeffizient ${\displaystyle r_{(X,Y)/U}}$ ist ein Schätzwert für den unbekannten Grundgesamtheitsparamter ${\displaystyle \varrho _{(X,Y)/U}}$.

Ein klassisches Beispiel für die Nützlichkeit des Partiellen Korrelationskoeffizienten, ist der Zusammenhang zwischen der Schuhgröße und der Wortschatzgröße bei Kindern.

Bei Zeitreihen wird die partielle Autokorrelationsfunktion ${\displaystyle \varphi }$ bei Verzögerung ${\displaystyle h}$ definiert als

${\displaystyle \varphi (h)=r_{X_{0}X_{h}\cdot \{X_{1},\,\dots \,,X_{h-1}\}}}$

Der partielle Korrelationskoeffizient kann auch für Rangkorrelationskoeffizienten berechnet werden^[5].