Produktsatz von Hadamard

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Definiere die kanonischen Hadamard-Faktoren $${\displaystyle E_{n}(z):=(1-z)\cdot \prod \limits _{k=1}^{n}e^{z^{k}/k}.}$$Eine ganze Funktion endlicher Ordnung ${\displaystyle \rho }$ hat eine kanonische Hadamard-Representation:^[1]$${\displaystyle f(z)=z^{m}\cdot e^{Q(z)}\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }E_{p}(z/a_{k})}$$mit ${\displaystyle a_{k}}$ als die nicht-Null Nullstellen von ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle a_{k}\neq 0}$), ${\displaystyle m}$ als die Ordnung der Nullstelle ${\displaystyle z=0}$ von ${\displaystyle f}$ (der Falle ${\displaystyle m=0}$ zu interpretieren als ${\displaystyle f(0)\neq 0}$), ${\displaystyle Q}$ als ein Polynom (dessen Grad wir ${\displaystyle q}$ nennen) und ${\displaystyle p}$ als die kleinste natürliche Zahl (inklusive Null), so dass die Reihe$${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{n}|^{p+1}}}}$$konvergiert. Die natürliche Zahl ${\displaystyle g=\max(\{p,\,q\})}$ wird auch das Genus oder Geschlecht der ganzen Funktion ${\displaystyle f}$ genannt. In dieser Notation folgt $${\displaystyle g\leq \rho \leq g+1.}$$ In anderen Worten: Wenn die Ordnung ${\displaystyle \rho }$ keine natürliche Zahl, dann ist ${\displaystyle g=\lfloor \rho \rfloor }$ der ganze Teil von ${\displaystyle \rho }$. Wenn die Ordnung eine natürliche Zahl (ohne Null) ist, dann gibt es nur die zwei Möglichkeiten: ${\displaystyle g=\rho -1}$ und ${\displaystyle g=\rho }$.

Zum Beispiel sind ${\displaystyle \sin }$, ${\displaystyle \cos }$ und ${\displaystyle \exp }$ ganze Funktionen von Geschlecht und Ordnung ${\displaystyle g=\rho =1}$.

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Definiere den Konvergenz-Exponenten der Nullstellen von ${\displaystyle f}$ als:^[2]$${\displaystyle \alpha$$ :=\limsup \limits _{r\to \infty }{\frac {\ln(N(f,\,r))}{\ln(r)}}} mit ${\displaystyle N(f,\,r)}$ als die Anzahl der Nullstellen mit Modolus ${\displaystyle <r}$. In anderen Worten: Wie haben eine asymptotische Grenze für das Wachstumsverhalten der Anzahl der Nullsteller der Funktion $${\displaystyle \forall \epsilon >0{:}\,N(f,\,r)\ll r^{\alpha +\epsilon }}$$ und es existiert eine Folge ${\displaystyle (r_{n})\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}$, so dass $${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} {:}\,N(f,\,r_{k})>r_{k}^{\alpha -\epsilon }}$$ Es ist offensichtlich, dass ${\displaystyle \alpha \geq 0}$.

Satz:^[3] Wenn ${\displaystyle f}$ eine ganze Funktion mit unendlich vielen Nullstellen ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}$ ist, dann ist $${\displaystyle \alpha =\inf \left(\left\{\beta \mid \sum _{k}|a_{k}|^{-\beta }<\infty \right\}\right)=\limsup \limits _{k\to \infty }{\frac {\ln(k)}{\ln(|a_{k}|)}}}$$Anmerkung: Beide Gleichheiten sind rein über das Grenzwertverhalten der Reellen Zahlen Folge ${\displaystyle |a_{1}|\leq |a_{2}|\leq \cdots }$ welche gegen unendlich divergiert. Sie involvieren keine Funktionentheorie.

Proposition:^[2] ${\displaystyle \alpha (f)\leq \rho }$ gemäß der Jensenschen Formel.

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Mit den Produktsatz von Hadamard können wir einige Spezialfällte des kleinen Satzes von Picard beweisen.

Satz:^[4.1] Wenn ${\displaystyle f}$ eine ganze und nicht-konstante Funktion endlicher Ordnung ist, dann nimmt sie entweder die gesamte komplexe Ebene an oder die komplexe Ebene ausgeschlossen eines Punktes.

Beweis: Wenn ${\displaystyle f}$ nicht den Wert ${\displaystyle z_{0}}$ annimmt, dann gilt gemäß den Produktsatz von Hadamard ${\displaystyle f(z)-z_{0}=e^{Q(z)}}$ für ein nicht-konstantes Polynom ${\displaystyle Q}$. Gemäß dem Fundamentalsatz der Algebra nimmt ${\displaystyle Q}$ alle komplexen Werte an, also nimmt ${\displaystyle f(z)-z_{0}}$ alle nicht-Null Werte an.

Satz:^[4] Wenn ${\displaystyle f}$ eine ganze, nicht-konstante Funktion endlicher nicht-ganzzahliger Ordnung ${\displaystyle \rho }$ ist, dann nimmt sie die gesamte komplexe Ebene unendlich oft ein.

Beweis: Für beliebige ${\displaystyle w\in \mathbb {C} }$ genügt es zu beweisen, dass ${\displaystyle f(z)-w}$ unendlich viele Nullstellen hat. Schreiben wir ${\displaystyle f(z)-w}$ in als Hadamard-Produkt ${\displaystyle f(z)-w=e^{Q(z)}z^{m}\prod _{k}E_{p}(z/a_{k})}$. Wenn das Produkt unendlich ist, dann ist ${\displaystyle \rho =g}$ eine natürliche Zahl.

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Dieser Beweis folgt Conways Umgang des Produktsatz von Hadamard.

Sei ${\displaystyle f}$ eine ganze Funktion endlicher Ordnung ${\displaystyle \rho }$. Wenn ${\displaystyle f}$ eine Nullstelle von Ordnung ${\displaystyle m}$ am Ursprung hat, schreibe

${\displaystyle f(z)=z^{m}f_{0}(z),}$

mit ${\displaystyle f_{0}}$ als ganze Funktion und ${\displaystyle f_{0}(0)\neq 0}$. Multiplizieren mit einer Konstante ungleich Null ändert nicht die Ordnung, also genügt es unter Normalisierung ${\displaystyle f(0)=1}$ zu beweisen. Der Faktor ${\displaystyle z^{m}}$ kann dann wiederhergestellt werden.

Seien ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in (\mathbb {C} \setminus \{0\})^{\mathbb {N} }}$ die nicht-Null Nullstellen von ${\displaystyle f}$, wiederholt gemäß Vielfachheit und geordnet, so dass

${\displaystyle |a_{1}|\leq |a_{2}|\leq \cdots .}$

Sei ${\displaystyle p=\lfloor \rho \rfloor }$. Der erste Schritt ist zu zeigen, dass die Folge höchsten einen Konvergenz-Exponenten von ${\displaystyle \rho }$ hat und in besonderen

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }|a_{k}|^{-(p+1)}<\infty .}$

Sei ${\displaystyle n(r)}$ die Anzahl der Nullstellen von ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle |z|<r}$, gezählt inklusive Multiplizität. Gemäß der Jensenschen Formel erhalten wir eine Abschätzung der Form

${\displaystyle n(r)\cdot \ln(2)\leq \ln(M(2\cdot r)),}$

mit

${\displaystyle M(r)=\max \limits _{|z|=r}|f(z)|.}$

Da ${\displaystyle f}$ die Ordnung ${\displaystyle \rho }$ hat, gilt für alle ${\displaystyle \varepsilon >0}$ und genügig große ${\displaystyle r}$,

${\displaystyle \ln(M(r))\leq r^{\rho +\varepsilon }.}$

Wählen wir ein ${\displaystyle \varepsilon >0}$ so klein, dass ${\displaystyle \rho +\varepsilon <p+1}$, so folgt

${\displaystyle n(r)={\mathcal {O}}(r^{\rho +\varepsilon }).}$

Da ${\displaystyle k\leq n(|a_{k}|)}$ gibt uns das

${\displaystyle |a_{k}|\geq C\cdot k^{1/(\rho +\varepsilon )}}$

für alle genügig großen ${\displaystyle k}$ und für eine Konstante ${\displaystyle C>0}$. Demnach

${\displaystyle |a_{k}|^{-(p+1)}\leq C'\cdot k^{-(p+1)/(\rho +\varepsilon )}}$

und der Exponent auf der Rechten Seite ist größer als ${\displaystyle 1}$. Hence

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }|a_{n}|^{-(p+1)}<\infty .}$

Es folgt, dass da kanonische Produkt

${\displaystyle P(z)=\prod _{n=1}^{\infty }E_{p}(z/a_{n})}$

lokal gleichmäßig konvergiert und defienrt eine Ganze Funktion dessen Nullstellen exakt ${\displaystyle a_{n}}$ sind, mit den gleichem Multiplizitäten. Also ist

${\displaystyle F(z)={\frac {f(z)}{P(z)}}}$

eine Nullstellen freie ganze Funktion. Da die komplexe Ebene einfach zusammenhängend ist, existiert eine ganze Funktion ${\displaystyle g}$, so dass

${\displaystyle F(z)=e^{g(z)}.}$

also

${\displaystyle f(z)=e^{g(z)}\cdot P(z).}$

Was zu beweisen bleibt ist, dass ${\displaystyle g}$ ein Polynom vom Grad höchstens ${\displaystyle p}$ ist. Hierfür nutzt Conway folgendes Lemma über die logarithmische Ableitung.

Lemma. Wenn ${\displaystyle f}$ eine ganze Funktion endlicher Ordnung ${\displaystyle \rho }$, ${\displaystyle f(0)\neq 0}$ und ${\displaystyle p}$ ist eine natürliche Zahl mit ${\displaystyle p>\rho -1}$, dann, weg von den Nullstellen von ${\displaystyle f}$,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{p}}{\mathrm {d} z^{p}}}\left({\frac {f'(z)}{f(z)}}\right)=-p!\cdot \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(a_{n}-z)^{p+1}}}.}$

Im unseren Fall ${\displaystyle p=\lfloor \rho \rfloor }$ gilt ${\displaystyle p>\rho -1}$. Wenden wir da Lemma an ${\displaystyle f}$ an, erhalten wir

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{p}}{\mathrm {d} z^{p}}}\left({\frac {f'(z)}{f(z)}}\right)=-p!\cdot \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(a_{n}-z)^{p+1}}}.}$

Auf der anderen Seite, da ${\displaystyle f=e^{g}P}$, folgt

${\displaystyle {\frac {f'}{f}}=g'+{\frac {P'}{P}}.}$

Für einen elementaren Faktor gilt also

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln(E_{p}(z/a)=-{\frac {1}{a-z}}+\sum \limits _{k=1}^{p}{\frac {z^{k-1}}{a^{k}}}.}$

Nach ${\displaystyle p}$-mal ableiten get der Polynom-Teil gegen Null and dementsprechend

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{p}}{\mathrm {d} z^{p}}}\left({\frac {P'}{P}}\right)=-p!\cdot \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(a_{k}-z)^{p+1}}}.}$

Das Vergleichen der Formeln gibt

${\displaystyle g^{(p+1)}(z)=0.}$

Dementsprechend ist ${\displaystyle g}$ ein Polynom von Grad höchstens ${\displaystyle p}$.

Stellen wir die Nullstelle am Ursprung wieder her, so halten wir

${\displaystyle f(z)=z^{m}\cdot e^{Q(z)}\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }E_{p}(z/a_{n}),}$

mit ${\displaystyle Q}$ als ein Polynom mit einen Grad von höchstens ${\displaystyle p=\lfloor \rho \rfloor }$. Also ist das Genus von ${\displaystyle f}$ endlich und höchstens ${\displaystyle \rho }$. Das ist der der Produktsatz von Hadamard.