Quasitransitive Relation

Ökonomische Präferenzen werden bei einigen Autoren als quasitransitiv (und nicht als transitiv) angesehen. Das klassische Beispiel ist eine Person, die unentschieden zwischen 7 und 8 Gramm Zucker ist und ebenso unentschieden zwischen 8 und 9 Gramm Zucker, die aber 9 Gramm Zucker gegenüber 7 bevorzugt.^[2] Ähnlich kann die Sorites-Paradoxie durch Abschwächung der angenommenen Transitivität bestimmter Relationen zu Quasitransitivität aufgelöst werden.

Eine zweistellige Relation ${\displaystyle T}$ über einer Menge ${\displaystyle X}$ ist quasitransitiv, wenn für alle ${\displaystyle a,b,c\in X}$ gilt:

${\displaystyle aTb\wedge \neg bTa\wedge bTc\wedge \neg cTb\Rightarrow aTc\wedge \neg cTa}$.

Wenn die Relation zusätzlich antisymmetrisch ist, ist T transitiv.

Eine alternative Definition verwendet den asymmetrischen oder „strengen“ Teil ${\displaystyle P}$ von ${\displaystyle T}$, definiert durch ${\displaystyle aPb\Leftrightarrow aTb\wedge \neg bTa}$; damit ist ${\displaystyle T}$ quasitransitiv genau dann, wenn ${\displaystyle P}$ transitiv ist.

• Eine Relation ${\displaystyle R}$ ist quasi-transitiv genau dann, wenn sie die disjunkte Vereinigung einer symmetrischen Relation ${\displaystyle J}$ und einer transitiven Relation ${\displaystyle P}$ ist.^[3] ${\displaystyle J}$ und ${\displaystyle P}$ sind durch ${\displaystyle R}$ nicht eindeutig bestimmt;^[4] allerdings ist das ${\displaystyle P}$ aus dem „${\displaystyle \Rightarrow }$“-Beweisteil minimal.^[5]
• Infolgedessen ist jede symmetrische Relation quasi-transitiv, ebenso wie jede transitive Relation.^[6] Darüber hinaus ist eine antisymmetrische und quasi-transitive Relation immer auch transitiv.^[7]
• Die Relation {(7,7), (7,8), (7,9), (8,7), (8,8), (8,9), (9,8), (9,9)} aus dem obigen Zucker-Beispiel ist quasi-transitiv, aber nicht transitiv.
• Eine quasitransitive Relation muss keinem azyklischen Graphen entsprechen: Für jede nicht leere Menge ${\displaystyle A}$ ist die universelle Relation ${\displaystyle A\times A}$ das kartesische Produkt sowohl zyklisch als auch quasitransitiv.

• Frederic Schick: Arrow's Proof and the Logic of Preference. In: Philosophy of Science. Band 36, Nr. 2, Juni 1969, S. 127–144, JSTOR:186166 (englisch).
• Walter Bossert, Kotaro Suzumura: Quasi-transitive and Suzumura consistent relations. März 2009 (englisch, Technischer Bericht [PDF] Université de Montréal, Waseda University Tokyo).