Ramanujan-Nagell-Gleichung

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Die einzigen fünf ganzzahligen Lösungen der Gleichung ${\displaystyle x^{2}+7=2^{n}}$ lauten:

${\displaystyle (x,n)=(1,3)}$, also ${\displaystyle 1^{2}+7=2^{3}}$

${\displaystyle (x,n)=(3,4)}$, also ${\displaystyle 3^{2}+7=2^{4}}$

${\displaystyle (x,n)=(5,5)}$, also ${\displaystyle 5^{2}+7=2^{5}}$

${\displaystyle (x,n)=(11,7)}$, also ${\displaystyle 11^{2}+7=2^{7}}$

${\displaystyle (x,n)=(181,15)}$, also ${\displaystyle 181^{2}+7=2^{15}}$

Diese fünf Lösungen wurden erstmals von Ramanujan im Jahr 1913 erwähnt. Er hat außerdem vermutet, dass diese fünf Lösungen die einzigen ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung sind.^[1] Unabhängig davon kam auch der norwegische Mathematiker Wilhelm Ljunggren im Jahr 1943 auf diese Vermutung.^[2] Einen Beweis dieser Vermutung konnte aber erst Nagell im Jahr 1948 liefern.^[3][4][5]

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Eine Mersenne-Zahl, die gleichzeitig eine Dreieckszahl ist, nennt man Ramanujan-Nagell-Zahl. Eine Mersenne-Zahl ist eine Zahl der Form ${\displaystyle 2^{b}-1}$, eine Dreieckszahl eine Zahl der Form ${\displaystyle {\frac {y\cdot (y+1)}{2}}}$. Wenn man alle Mersenne-Zahlen berechnen will, die auch gleichzeitig Dreieckszahlen sind (auf Englisch auch triangular Mersenne numbers), muss man folgende Gleichung lösen:

${\displaystyle 2^{b}-1={\frac {y\cdot (y+1)}{2}}}$

Formt man diese Gleichung etwas um, so erhält man:

${\displaystyle {\begin{aligned}2^{b}-1&=&{\frac {y\cdot (y+1)}{2}}\\8\cdot (2^{b}-1)&=&4\cdot y\cdot (y+1)\\2^{b+3}-8&=&4y^{2}+4y\\2^{b+3}-7&=&4y^{2}+4y+1\\2^{b+3}-7&=&(2y+1)^{2}\end{aligned}}}$

Setzt man nun ${\displaystyle n:=b+3}$ und ${\displaystyle x:=2y+1}$, so erhält man die Ramanujan-Nagell-Gleichung ${\displaystyle 2^{n}-7=x^{2}}$. Da man schon weiß, dass diese Gleichung nur fünf Lösungen ${\displaystyle (n,x)\in \{(3,1),(4,3),(5,5),(7,11),(15,181)\}}$ hat, kann man die dazugehörigen ${\displaystyle b=n-3}$ und ${\displaystyle y={\frac {x-1}{2}}}$ berechnen: ${\displaystyle (b,y)\in \{(0,0),(1,1),(2,2),(4,5),(12,90)\}}$ Die dazugehörigen Mersenne-Zahlen ${\displaystyle 2^{b}-1}$ lauten also:

${\displaystyle 2^{0}-1=0,\quad }$ ${\displaystyle 2^{1}-1=1,\quad }$ ${\displaystyle 2^{2}-1=3,\quad }$ ${\displaystyle 2^{4}-1=15\quad }$ und ${\displaystyle 2^{12}-1=4095}$

Die folgenden fünf Mersenne-Zahlen sind also gleichzeitig Dreieckszahlen und somit die einzigen Ramanujan-Nagell-Zahlen:

0, 1, 3, 15, 4095 (Folge A076046 in OEIS)

Es gibt keine weiteren Mersenne-Zahlen, die gleichzeitig Dreieckszahlen sind.

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Verallgemeinerungen der Ramanujan-Nagell-Gleichung haben die Form

${\displaystyle x^{2}+D=A\cdot B^{n}\quad }$ mit vorgegebenen ganzzahligen ${\displaystyle D,A,B\in Z}$ und Variablen ${\displaystyle x,n}$

Man nennt sie auch Gleichungen vom Ramanujan-Nagell-Typ.

Der Mathematiker Carl Ludwig Siegel konnte zeigen, dass die Anzahl der Lösungen ${\displaystyle (x,n)}$ in allen Fällen endlich ist.^[3][6]

Beispiel 1:

Sei ${\displaystyle A:=1}$, ${\displaystyle B:=2}$ und ${\displaystyle D:=7}$. Dann lautet die Gleichung:

${\displaystyle x^{2}+7=2^{n}}$

Diese Gleichung ergibt umgeformt ${\displaystyle 2^{n}-7=x^{2}}$, was wieder die ursprüngliche Ramanujan-Nagell-Gleichung mit den schon erwähnten fünf Lösungen ist.

Beispiel 2:

Sei ${\displaystyle A:=4}$, ${\displaystyle B:=2}$ und ${\displaystyle D\not =7}$. Dann hat man es mit der Gleichung ${\displaystyle x^{2}+D=4\cdot 2^{n}}$ zu tun. Mit anderen Worten: Die Gleichung lautet:

${\displaystyle x^{2}+D=2^{n+2}}$ mit ${\displaystyle D\not =7}$

Dieser Gleichungstyp hat immer höchstens zwei Lösungen. Es gibt aber unendlich viele ${\displaystyle D}$, für welche diese Gleichung exakt zwei Lösungen hat. Zum Beispiel seien hier diese zwei Lösungen von bestimmen ${\displaystyle D}$ angegeben:^[7][8]

${\displaystyle (x,n)\in \{(3,5),(45,11)\}}$ für ${\displaystyle D=23}$

${\displaystyle (x,n)\in \{(1,m),(2^{m}-1,2m-1)\}}$ für ${\displaystyle D=2^{m}-1}$, ${\displaystyle m\geq 4}$

Beispiel 3:

Sei ${\displaystyle D:=119}$, ${\displaystyle A:=15}$ und ${\displaystyle B:=2}$. Dann lautet die Gleichung:

${\displaystyle x^{2}+119=15\cdot 2^{n}}$

Diese Gleichung hat die folgenden sechs Lösungen:^[9]

${\displaystyle (x,n)\in \{(1,3),(11,4),(19,5),(29,6),(61,8),(701,15)\}}$

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Eine Gleichung der Form

${\displaystyle x^{2}+D=Ay^{n}\quad }$ mit vorgegebenen ganzzahligen ${\displaystyle D,A\in Z}$ und Variablen ${\displaystyle x,y,n}$

nennt man Gleichung vom Lebesgue-Nagell-Typ. Sie wurde nach dem französischen Mathematiker Victor-Amédée Lebesgue benannt, der zeigen konnte, dass die Gleichung

${\displaystyle x^{2}+1=y^{n}}$

keine Lösung hat mit Ausnahme der folgenden trivialen Lösungen:^[10]

${\displaystyle 0^{2}+1=y^{0}}$, ${\displaystyle \quad 0^{2}+1=1^{n}}$ und ${\displaystyle x^{2}+1=(x^{2}+1)^{1}}$

Zur letzteren trivialen Lösungsschar gehören zum Beispiel ${\displaystyle 1^{2}+1=2^{1}}$ oder ${\displaystyle 7^{2}+1=50^{1}}$.

Beispiel 1:

Die beiden Mathematiker Robert Tijdeman und Tarlok Nath Shorey konnten im Jahr 1986 zeigen, dass die Anzahl der Lösungen der Gleichung ${\displaystyle x^{2}+D=Ay^{n}}$ in jedem Fall endlich ist.^[11]

Beispiel 2:

Die drei Mathematiker Yann Bugeaud, Maurice Mignotte und Samir Siksek lösten im Jahr 2006 Gleichungen dieses Typs für ${\displaystyle A=1}$ und ${\displaystyle 1\leq D\leq 100}$.^[12]

Sie konnten im Speziellen zeigen, dass die Verallgemeinerung der Ramanujan-Nagell-Gleichung

${\displaystyle x^{2}+7=y^{n}}$ mit ${\displaystyle n\geq 3}$

nur die fünf positiven ganzzahligen Lösungen ${\displaystyle (x,y,n)\in \{(1,2,3),(3,2,4),(5,2,5),(11,2,7),(181,2,15)\}}$ hat.

Für ${\displaystyle 0\leq n\leq 2}$ hat diese Gleichung noch die triviale Lösung ${\displaystyle 0^{2}+7=7^{1}}$, also ${\displaystyle (x,y,n)\in \{(0,7,1)\}}$.

Lösungen dieser Gleichung wie zum Beispiel ${\displaystyle 1^{2}+7=8^{1}}$ oder ${\displaystyle 3^{2}+7=4^{2}}$ kann man umformen auf ${\displaystyle 1^{2}+7=2^{3}}$ bzw. ${\displaystyle 3^{2}+7=2^{4}}$, was wiederum auf die schon bekannten Lösungen ${\displaystyle (x,y,n)\in \{(1,2,3),(3,2,4)\}}$ führt.

• Pillai-Vermutung: ${\displaystyle Ax^{n}-By^{m}=C}$ mit ${\displaystyle A,B,C\in \mathbb {N} }$ hat nur endliche viele Lösungen.

• Kalyan Chakraborty, Azizul Hoque, Richa Sharma: Complete solutions of certain Lebesgue-Ramanujan-Nagell Type equations. 28. September 2019, S. 1–16, abgerufen am 11. Januar 2020.
• Fadwa S. Abu Muriefah, Yann Bugeaud: The Diophantine equation x² + c = y ⁿ : a brief overview. Revista Colombiana de Matemáticas 40, 2006, S. 31–37, abgerufen am 11. Januar 2020.