Rang-Vermutung

In der Mathematik war die Rang-Vermutung (engl. rank conjecture oder rank vs. genus conjecture) eine die Poincaré-Vermutung verallgemeinernde Vermutung über 3-Mannigfaltigkeiten.

Die Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}M}$ ist eine wichtige Invariante geschlossener 3-Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}$. Zum Beispiel besagt die (2003 von Perelman bewiesene) Poincaré-Vermutung, dass eine geschlossene 3-Mannigfaltigkeit genau dann die 3-Sphäre ist, wenn ${\displaystyle \pi _{1}M=0}$ gilt.

Der Rang einer (endlich erzeugten) Gruppe ist die minimale Anzahl von Erzeugern. Der Rang der Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}M}$ wird mit ${\displaystyle \operatorname {rk} (M)}$ bezeichnet. Aus dem Satz von Grushko folgt ${\displaystyle \operatorname {rk} (M_{1}\sharp M_{2})=\operatorname {rk} (M_{1})+\operatorname {rk} (M_{2})}$. Eine äquivalente Formulierung der Poincaré-Vermutung besagt

${\displaystyle rk(M)=0\Longleftrightarrow M\cong S^{3}}$

für geschlossene 3-Mannigfaltigkeiten.

Waldhausen stellte in den 60er Jahren die (1970 in einer Arbeit Hakens als „verallgemeinerte Poincaré-Vermutung“ bezeichnete) Frage, ob für kompakte 3-Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}$ die Gleichung

${\displaystyle rk(M)=g(M)}$

für das Heegaard-Geschlecht ${\displaystyle g(M)}$ gilt. Weil die Fundamentalgruppe eines der beiden Henkelkörper einer Heegaard-Zerlegung bereits ${\displaystyle \pi _{1}M}$ erzeugt, gilt ${\displaystyle rk(M)\leq g(M)}$. Die Frage nach der Gleichheit wurde oft als rank vs. genus conjecture bezeichnet.

Die Vermutung ist korrekt für 3-Mannigfaltigkeiten mit ${\displaystyle g(M)\leq 2}$. Erste Gegenbeispiele von Seifert-Faserungen mit ${\displaystyle g(M)=3}$ und ${\displaystyle rk(M)=2}$ fanden 1983 Boileau und Zieschang.^[1] Tatsächlich gibt es Graphmannigfaltigkeiten mit beliebig großen Werten für die Differenz ${\displaystyle g(M)-rk(M)}$.^[2] Diese Konstruktionen benutzten die Existenz zentraler Elemente in Fundamentalgruppen von Seifert-Faserungen, weshalb die Vermutung dann als rank conjecture oder rank vs. genus conjecture eingeschränkt auf hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten betrachtet wurde. Nachdem die Vermutung dort für verschiedene Klassen hinreichend komplizierter hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten bewiesen worden war^[3], fand Tao Li 2011 Gegenbeispiele zur Rang-Vermutung.^[4]