Lorentz-Faktor

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Der Lorentz-Faktor ist definiert als:

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}}$

• ${\displaystyle v}$ bezeichnet die Relativgeschwindigkeit zweier Bezugssysteme.
• Die Lichtgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$ ist eine vom Bezugssystem unabhängige Naturkonstante.

Zur Vereinfachung von Formeln gibt man die Relativgeschwindigkeit oft als Bruchteil ${\displaystyle \beta }$ der Lichtgeschwindigkeit an. Mit

${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}$

schreibt sich der Lorentz-Faktor als

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$.

Für relativ zueinander ruhende Bezugssysteme gilt

${\displaystyle \left.{\begin{array}{c}v=0\\\beta =0\end{array}}\right\rbrace \ \Rightarrow \;\gamma =1}$.

Ist ${\displaystyle v\neq 0}$, aber klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit, also

${\displaystyle v\ll c\ \ {\text{bzw.}}\ \ \beta \ll 1}$,

so wird durch eine Taylor-Entwicklung

${\displaystyle \gamma =1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}+{\frac {3}{8}}\beta ^{4}+{\mathcal {O}}\left(\beta ^{6}\right)}$.

In welcher Ordnung die Entwicklung in der klassischen Physik abgebrochen werden kann, ist nicht allgemein zu beantworten. Für die meisten Anwendungen kann ${\displaystyle \gamma }$ als konstant Eins angenommen werden, für die kinetische Energie entspricht die Entwicklung bis zur ersten Ordnung (${\displaystyle \beta ^{2}}$) dem Wert der newtonschen Physik, denn ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}\cdot mc^{2}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$.

Der Lorentz-Faktor lässt sich angeben als:

${\displaystyle \gamma ={\frac {E_{\mathrm {kin} }}{E_{0}}}+1={\frac {E_{\mathrm {gesamt} }}{E_{0}}}}$

mit

• der kinetischen Energie ${\displaystyle E_{\mathrm {kin} }}$ des betrachteten Objektes
• seiner Ruheenergie^{[A 1]} ${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$ und
• der gesamten Energie ${\displaystyle E_{\mathrm {gesamt} }=E_{0}+E_{\mathrm {kin} }}$.

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Mit dem relativistischen Dreierimpuls ${\displaystyle {\vec {p}}}$ eines Objekts der Masse^{[A 1]} ${\displaystyle m\,}$ hängt der Lorentz-Faktor wie folgt zusammen:

${\displaystyle {\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}}$

und

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {\vec {p}}{mc}}\right)^{2}}}}$.

Dass der Zusammenhang vom ${\displaystyle \gamma \,}$ mit der Energie und dem Impuls äquivalent sind, erkennt man durch Einsetzen in die Energie-Impuls-Relation:

${\displaystyle {\vec {p}}^{2}=E^{2}/c^{2}-m^{2}c^{2}=\underbrace {(\gamma ^{2}-1)\cdot c^{2}} _{\left({\frac {1}{1-\beta ^{2}}}-{\frac {1-\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}\right)c^{2}=\beta ^{2}c^{2}\gamma ^{2}}\!\!\!\cdot \,m^{2}=\gamma ^{2}v^{2}m^{2}}$

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Die zeitliche Ableitung von ${\displaystyle \gamma }$ ist interessant, um die relativistische Form des zweiten newtonschen Gesetzes ${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$ für Beschleunigungen in Bewegungsrichtung zu formulieren, da die relativistisch korrekte Beziehung ${\displaystyle {\vec {F}}={\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {p}}}$ über den Impuls lautet.

Aus ${\displaystyle {\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}}$ folgt direkt:

${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {v}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\gamma +\gamma m{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {v}}+\underbrace {\gamma {\vec {v}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}m} _{=0}.}$

Der dritte Summand ist null, weil die Masse sich bei Beschleunigung nicht ändert.^{[A 1]} Mit der zeitlichen Ableitung des Lorentz-Faktors

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\gamma =\gamma ^{3}{\frac {\vec {v}}{c}}\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\vec {v}}{c}}}$

erhält man die folgende Beziehung zwischen Kraft und Beschleunigung:^[1]

${\displaystyle {\vec {F}}=m\gamma ^{3}\left({\frac {\vec {v}}{c}}\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\vec {v}}{c}}\right){\vec {v}}+\gamma m{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {v}}\,.}$

1. [1]

   Wie in der deutschen Wikipedia generell üblich verwenden wir nicht das Konstrukt der relativistischen Massenzunahme.