Relativistischer Impuls

Der Impuls ${\displaystyle {\vec {p}}}$ eines Teilchens der Masse ${\displaystyle m}$ hängt in der speziellen Relativitätstheorie nichtlinear von der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ab:

${\displaystyle {\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Dabei ist ${\displaystyle \gamma }$ der relativistische Faktor (Lorentz-Faktor). Dieser Faktor wird bei steigender Geschwindigkeit immer größer, bei Lichtgeschwindigkeit unendlich. Für nichtrelativistische Geschwindigkeiten ${\displaystyle (v\ll c)}$ ist ${\displaystyle \gamma }$ annähernd 1, d. h. man erhält für kleine Geschwindigkeiten den klassischen Impuls der newtonschen Mechanik:

${\displaystyle {\vec {p}}_{\text{Newton}}=m{\vec {v}}}$

Die relativistische Korrektur der klassischen Formel hat auch Konsequenzen für Kraft und Beschleunigung. Für die Kraft mit ihrer Definition als Impulsübertrag pro Zeit

${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}}$

gilt das klassische zweite newtonsche Gesetz ${\displaystyle {\vec {F}}=m\cdot {\vec {a}}}$ nicht mehr exakt (siehe Beschleunigung (spezielle Relativitätstheorie) → Beschleunigung und Kraft).

Insbesondere in älterer populärwissenschaftlicher Literatur findet sich die so genannte „relativistische Masse“ ${\displaystyle \,m_{\mathrm {rel} }=\gamma m_{0}}$, wobei ${\displaystyle m_{0}}$ als „Ruhemasse“ bezeichnet wird. Zu Verwirrung führt, dass dann oft statt ${\displaystyle \,m_{\mathrm {rel} }}$ einfach ${\displaystyle m}$ geschrieben wird und das Wort „Masse“ die relativistische Masse (statt einer invarianten Größe) bezeichnet. Mit dieser alternativen Definition von „Masse“ (die zwar in der modernen Physik weitgehend abgelehnt wird, aber möglich ist) ist die Formel ${\displaystyle \,{\vec {p}}=m{\vec {v}}}$ formal auch in der Relativitätstheorie gültig, aber es treten andere konzeptionelle Schwierigkeiten auf (siehe Relativistische Massenzunahme).

Anders ist es beim Impuls: Hier gibt keinen Spielraum für unterschiedlichen Definitionen, sondern nur den einen Impuls, für den ein strenger Erhaltungssatz gilt. „Relativistischer Impuls“ bedeutet schlicht, dass die exakte Formel der speziellen Relativitätstheorie verwendet wird und nicht die newtonsche Formel, die eine Näherung für ${\displaystyle v\ll c}$ ist.

Sowohl der Impuls als auch die Energie eines Teilchens der Masse ${\displaystyle m}$ müssen in relativistischer Physik für jeden Beobachter additive Erhaltungsgrößen sein. Daraus lässt sich die Abhängigkeit des Impulses und der Energie von der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ableiten.

Eine Herleitung ergibt sich auch aus der Wirkung

${\displaystyle S[{\mathcal {L}}]=\int {\mathcal {L}}\left(t,{\vec {x}}(t),{\vec {v}}(t)\right)\,\mathrm {d} t}$

mit der Lagrange-Funktion

${\displaystyle {\mathcal {L}}(t,{\vec {x}},{\vec {v}})=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.}$

Da die Lagrange-Funktion nicht vom Ort ${\displaystyle {\vec {x}}}$ abhängt (das heißt, die Komponenten ${\displaystyle x^{i}\,,i=1,2,3\,,}$ sind zyklisch), ist die Wirkung invariant unter räumlichen Verschiebungen. Die nach dem Noether-Theorem zugehörige Erhaltungsgröße ist definitionsgemäß der Impuls. Im vorliegenden Fall ist dies der zu ${\displaystyle {\vec {x}}}$ konjugierte Impuls mit Komponenten

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial v^{i}}}={\frac {mv^{i}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},}$ also

${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,.}$

Da die Lagrange-Funktion nicht von der Zeit ${\displaystyle t}$ abhängt, ist nach dem Noether-Theorem die Energie

${\displaystyle E=v^{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial v^{i}}}-{\mathcal {L}}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

eine Erhaltungsgröße. Die Geschwindigkeit als Funktion des Impulses ist

${\displaystyle {\vec {v}}={\frac {\vec {p}}{\sqrt {m^{2}+p^{2}/c^{2}}}},}$

wie sie sich umgekehrt aus ${\displaystyle {\vec {p}}({\vec {v}})}$ ergibt. Daraus folgt die Energie als Funktion der Phasenraumvariablen, die Hamilton-Funktion

${\displaystyle H(t,{\vec {x}},{\vec {p}})={\sqrt {m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}}.}$

Die Energie und der Impuls erfüllen also die Energie-Impuls-Beziehung und liegen auf der Massenschale.

• Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie. 4. Auflage. Elsevier – Spektrum Akademischer Verlag, 2003, ISBN 3-8274-1356-7.