Satz von Fueter-Pólya
Satz der Zahlentheorie
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Der Satz von Fueter-Pólya, benannt nach Rudolf Fueter und George Pólya, ist ein Satz aus der Zahlentheorie, nach dem es genau zwei quadratische, reelle Polynome in zwei Unbestimmten gibt, die eine bijektive Funktion definieren. Diese sind genau die bereits von Georg Cantor angegebenen Polynome, die die Gleichmächtigkeit von und zeigen.
Bereits 1873 hat Cantor gezeigt, dass durch das heute so genannte Cantor-Polynom, das folgende Polynom in zwei den Variablen und :
- ,
eine bijektive Abbildung definiert ist[1], solche Abbildungen nennt man Paarungsfunktionen. Selbstverständlich ist die Funktion , die aus durch die Vertauschung der Variablen entsteht, ebenfalls eine Paarungsfunktion. Fueter war der Frage nachgegangen, ob es weitere quadratische Polynome mit dieser Eigenschaft gibt, und kam zu dem Ergebnis, dass das nicht der Fall ist, wenn man zusätzlich die Forderung stellt, wie er Pólya in einem Brief mitteilte. Pólya fand dann einen Beweis, der diese zusätzliche Voraussetzung nicht benötigt, und veröffentlichte dies gemeinsam mit Fueter.[2]
Formulierung des Satzes
Ist ein quadratisches, reelles Polynom in zwei Variablen, dessen Einschränkung auf eine Bijektion definiert, so ist
- oder
- .
Bemerkungen
Zum Beweis
Der Beweis ist überraschend schwierig, er verwendet unter anderem den Satz von Lindemann-Weierstraß über die Transzendenz von für von 0 verschiedene, algebraische Zahlen .[3] Ein elementarer Zugang findet sich in einer Arbeit von M. A. Vsemirnov.[4]
Fueter-Pólya-Vermutung
Es ist ein offenes Problem, ob der Satz von Fueter-Pólya richtig bleibt, wenn man auf die Voraussetzung „quadratisch“ verzichtet. Dass dies so sei, ist auch als Fueter-Pólya-Vermutung bekannt.
Andere Paarungsfunktionen
Bezeichnet man mit die größte ganze Zahl , so ist
eine Bijektion .[5] Hier handelt es sich nicht um die Einschränkung eines Polynom, da ganzzahlige Division durch 2 verwendet wird.
Höhere Dimensionen
Die Verallgemeinerung des Cantor-Polynoms in höheren Dimensionen lautet[6]
Wenn man diese Binomialkoeffizienten ausmultipliziert, erhält man offenbar ein Polynom -ten Grades in Unbestimmten. Es ist ein offenes Problem, ob sich alle Polynome -ten Grades, die eine Bijektion definieren, durch Permutation der Variablen dieses Polynoms ergeben.[7]
