Satz von Gauß-Lucas

Sei ${\displaystyle P}$ eine nicht-konstante Polynomfunktion mit komplexen Koeffizienten und sei ${\displaystyle P^{\prime }}$ die Ableitung von ${\displaystyle P}$. Dann liegen alle Nullstellen von ${\displaystyle P^{\prime }}$ in der konvexen Hülle der Nullstellen von ${\displaystyle P}$.

Der Satz wurde erstmals von Carl Friedrich Gauß 1836 niedergeschrieben,^[1] jedoch erst 1879 von Félix Lucas bewiesen.^[2]

Die Nullstellen von ${\displaystyle P'}$ liegen sogar in der konvexen Hülle der ${\displaystyle n^{2}-n}$ Punkte

${\displaystyle \omega _{jk}={\frac {z_{j}+(n-1)z_{k}}{n}}}$

mit ${\displaystyle j\,,k=1,\ldots ,n}$ und ${\displaystyle j\neq k}$, wobei ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ die ${\displaystyle n}$ Nullstellen von ${\displaystyle P}$ sind.^[3][4]

Wenn ${\displaystyle P}$ eine nicht-konstante Polynomfunktion mit reellen Koeffizienten ist, dann liegen alle nicht-reellen Nullstellen der Ableitung ${\displaystyle P^{\prime }}$ innerhalb der Jensen-Scheiben,^[5] die durch alle Paare von komplex konjugierten Nullstellen von ${\displaystyle P}$ bestimmt sind.^[6] Diese Variante des Satzes von Gauß-Lucas für Polynome mit reellen Koeffizienten wurde 1913 von Johan Ludwig Jensen formuliert und 1920 von Joseph L. Walsh erstmals bewiesen.^[7][8]