Satz von Heine-Borel

Der Satz besagt, dass zwei unterschiedliche Definitionen der Kompaktheit in endlichdimensionalen reellen Vektorräumen gleichwertig sind.

Für eine Teilmenge ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (der metrische Raum aller reellen n-Tupel mit der euklidischen Metrik) sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent:

1. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ist kompakt.
2. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ist beschränkt und abgeschlossen.

Mit kompakt sind die zwei äquivalenten Charakterisierungen mit einbegriffen; also über Folgenkompaktheit, d. h. für jede Folge in ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ existiert eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, sowie die der Überdeckungskompaktheit, d. h. für jede offene Überdeckung von ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ gibt es eine endliche (offene) Teilüberdeckung.

Dieser Satz lässt sich speziell auf Teilmengen der Menge der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ anwenden.

Zunächst betrachten wir die Hinrichtung.

Also angenommen ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \subset \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ aber unbeschränkt, so existiert eine Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ in ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ mit ${\displaystyle |x_{n}|\geq n}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, welche keine konvergente Teilfolge hat. Dies ist ein Widerspruch zu der Annahme, dass ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ kompakt und damit insbesondere Folgenkompakt ist. Daher muss ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ beschränkt sein. Weiter ist zu zeigen, dass ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ auch abgeschlossen ist. Sei dazu ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ Folge in ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ mit Grenzwert ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$, welcher auch in ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ liegt, denn: Da ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ kompakt ist existiert eine Teilfolge ${\displaystyle (a_{n_{k}})\rightarrow b\in {\mathcal {M}},k\rightarrow \infty }$. Da Teilfolgen von konvergenten Folgen mit gleichem Limes konvergieren, gilt auch ${\displaystyle a=b\in {\mathcal {M}}\implies {\mathcal {M}}}$abgeschlossen.

Für die Rückrichtung nehmen wir an, dass ${\displaystyle {\mathcal {M}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ beschränkt und abgeschlossen ist und zeigen die Folgenkompaktheit. Es sei ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ Folge in ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. Für ${\displaystyle n=1}$ folgt wegen der Beschränktheit mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß, dass eine konvergente Teilfolge ${\displaystyle (a_{n_{k}})\rightarrow a\in \mathbb {R} }$ existiert und mit der Abgeschlossenheit, dass ${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}}$.

Für ${\displaystyle {\mathcal {M}}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ gilt dann ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\rightarrow a\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\stackrel {\star }{\iff }}(pr_{1}(a_{n}),...,pr_{n}(a_{n}))\rightarrow (pr_{1}(a),...,pr_{n}(a))}$,wobei ${\displaystyle pr_{i}}$ die Projektion auf die ${\displaystyle i}$-te Koordinate beschreibt. Dann ist nun ${\displaystyle (pr_{1}(a_{n}))_{n\in \mathbb {N} }}$ eine beschränkte Folge in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, nach Bolzano Weierstraß existiert dann wieder eine konvergente Teilfolge ${\displaystyle (a_{n_{r}}),{\text{sd.}}pr_{n}(a_{n_{r}})\rightarrow a_{n}\in \mathbb {R} }$. Dies kann man nun ${\displaystyle n}$-mal auf die Folgen anwenden und erhält insgesamt als Grenzwert in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, dass ${\displaystyle (a_{n_{r}})\rightarrow \alpha =(\alpha _{1},...,\alpha _{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$und da ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ abgeschlossen ist, folgt das auch ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {M}}}$ gilt und die Menge somit kompakt ist.

Die Voraussetzung, dass der umgebende Raum der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist, ist wesentlich. Im Allgemeinen ist (Überdeckungs-)Kompaktheit nicht äquivalent zu Abgeschlossenheit und Beschränktheit.

Ein einfaches Gegenbeispiel liefert die diskrete Metrik auf einer unendlichen Menge ${\displaystyle X}$. Sie ist definiert durch

${\displaystyle d(x,y):={\begin{cases}0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x=y\\1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x\neq y.\end{cases}}}$

In dieser Metrik ist jede Teilmenge von ${\displaystyle X}$ abgeschlossen und beschränkt, aber nur die endlichen Teilmengen sind kompakt.

Weitere Gegenbeispiele sind alle unendlichdimensionalen normierten Vektorräume.

Für allgemeine metrische Räume gilt allerdings, dass die kompakten Mengen diejenigen sind, welche vollständig und totalbeschränkt sind.^[1] Dies ist deshalb eine Verallgemeinerung, weil eine Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ genau dann vollständig ist, wenn sie abgeschlossen ist, und weil sie genau dann totalbeschränkt ist, wenn sie beschränkt ist.

• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3, S. 95 ff.
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6, S. 59 ff.
• Bertrand Hauchecorne: La théorème de Borel-Lebesgue. In: Quadrature. Band 97, 2015, S. 9–11 (zbMATH Open).

• Heine Borel (Video, das einen Beweis des Satzes von Heine-Borel illustriert.)