Satz von Jacobi (Zahlentheorie)

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Für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ sei ${\displaystyle r_{4}(n)}$ durch

${\displaystyle r_{4}(n)=\#\{(n_{1},n_{2},n_{3},n_{4})\colon n_{1},n_{2},n_{3},n_{4}\in \mathbb {Z} ,\ n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}+n_{4}^{2}=n\}}$

definiert. Dann ist

${\displaystyle r_{4}(n)={\begin{cases}8\sigma (n),&4\nmid n\\8\sigma (n)-32\sigma \left({\frac {n}{4}}\right),&4\mid n,\end{cases}}}$

wobei ${\displaystyle \sigma (n)}$ die Teilerfunktion ist (d. h. die Summe aller Teiler von n einschl. n selbst).^[1][2]

Das lässt sich auch so ausdrücken:

${\displaystyle r_{4}(n)={\begin{cases}8\sum \limits _{m|n}m&{\text{für }}n{\text{ ungerade}}\\[12pt]24\sum \limits _{\begin{smallmatrix}m|n\\m{\text{ ungerade}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\end{smallmatrix}}m&{\text{für }}n{\text{ gerade}}\end{cases}}}$

oder:

${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{d\mid n,4\nmid d}d}$

(Summe über die Teiler von n, die nicht durch 4 teilbar sind).

Jacobi fand diesen Satz mit Hilfe der von ihm in seiner Theorie der elliptischen Funktionen eingeführten Thetafunktionen über die Identität

${\displaystyle {\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\right)}^{4}=\sum _{a,b,c,d\in \mathbb {Z} }q^{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}=1+8\sum _{m=1}^{\infty }\left(\sum _{f\mid m,4\nmid f}f\right)q^{m}}$

mit ${\displaystyle q=e^{2\pi iz}}$, ${\displaystyle z\in \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} \mid \Im (z)>0\}}$. Die Thetafunktionen auf der linken Seite und die Eisensteinreihe rechts sind beides Modulformen (zur Kongruenzuntergruppe ${\displaystyle \Gamma _{1}(4)}$ und Gewicht ${\displaystyle k=2}$).^[3]

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Für ${\displaystyle n=2}$ ergibt sich aus dem Satz von Jacobi

${\displaystyle r_{4}(2)=8\sigma (2)=8\cdot (1+2)=24.}$

Es ist ${\displaystyle 2=0^{2}+0^{2}+1^{2}+1^{2}=0^{2}+0^{2}+1^{2}+(-1)^{2}=0^{2}+0^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}.}$ Mit Hilfe des Multinomialkoeffizienten berechnet man die Anzahl der Permutationen der Tupel ${\displaystyle (0,0,1,1),(0,0,1,-1)}$ bzw. ${\displaystyle (0,0,-1,-1)}$: Für ${\displaystyle (0,0,1,1)}$ gibt es ${\displaystyle {\tfrac {4!}{2!\cdot 2!}}=6}$ Permutationen, für ${\displaystyle (0,0,1,-1)}$ sind es ${\displaystyle {\tfrac {4!}{2!\cdot 1!\cdot 1!}}=12}$ und für ${\displaystyle (0,0,-1,-1)}$ gibt es ${\displaystyle {\tfrac {4!}{2!\cdot 2!}}=6}$ Permutationen, insgesamt also ${\displaystyle 6+12+6=24}$ mögliche Tupel.

• Vier-Quadrate-Satz
• Quadratsummen-Funktion

• Eric W. Weisstein: Sum of Squares Function. In: MathWorld (englisch).