Satz von Palm-Chintschin

Summarize Timeline Fact Check

Seien ${\displaystyle \{N_{mi}(t),t\geq 0\}}$ für ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle i=1,2,\dotsc ,m}$ unabhängige Erneuerungsprozesse und

${\displaystyle N_{m}(t)=N_{m1}(t)+N_{m2}(t)+\ldots +N_{mm}(t)}$

die Superposition dieser Prozesse. Weiter bezeichne ${\displaystyle X_{mi}}$ die Zeit zwischen der ersten und zweiten Erneuerung in Prozess ${\displaystyle i}$ sowie ${\displaystyle \lambda _{mi}=1/E(X_{mi})}$. Unter den Annahmen

1. Für alle hinreichend große ${\displaystyle m}$ gelte: ${\displaystyle \lambda _{m1}+\lambda _{m2}+\ldots +\lambda _{mm}=\lambda <\infty }$.
2. Gegeben ${\displaystyle \varepsilon >0}$, für jedes ${\displaystyle t>0}$ und hinreichend große ${\displaystyle m}$ gelte: ${\displaystyle P(X_{mi}\leq t)<\varepsilon }$ für alle ${\displaystyle i}$.

strebt dann die Überlagerung der Zählprozesse ${\displaystyle N_{m}(t)}$ für ${\displaystyle m}$ gegen ${\displaystyle \infty }$ gegen einen Poisson-Prozess mit Rate ${\displaystyle \lambda }$.^[3]

Es gibt zahlreiche Erweiterungen, z. B. den Satz von Grigelionis,^[4] der die Annahmen verallgemeinert und als Grenzprozess einen nicht-homogenen Poisson-Prozess ableitet. In der Software-Zuverlässigkeit gibt es zahlreiche Erweiterungen für Software-Zuverlässigkeitswachstumsmodelle, klassisch z. B. den Satz von Littlewood,^[5] bei dem der Ausfallprozess für komplexe Software-Systeme, deren interne Struktur durch Markow-Ketten beschrieben werden kann, ebenfalls wieder gegen einen Poisson-Prozess strebt.