Satz von Rademacher

Seien ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$ natürliche Zahlen, ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene Teilmenge eines euklidischen Raumes und schließlich ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{m}}$ eine Lipschitz-stetige Funktion. Dann ist ${\displaystyle f}$ fast überall (total) differenzierbar.^[1]

Das heißt, die Menge aller Punkte, in denen ${\displaystyle f}$ nicht differenzierbar ist, ist eine Lebesgue-Nullmenge.

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Es gibt eine Verallgemeinerung für Funktionen ${\displaystyle f\colon U\to (X,d_{X})}$, wobei ${\displaystyle X}$ nun einen beliebigen metrischen Raum bezeichne.

Zunächst ist jedoch nicht klar, wie sich obiger Satz auf diesen Fall übertragen lässt, denn ein metrischer Raum trägt nicht a priori auch eine lineare Struktur.

Fasst man ${\displaystyle f}$ als Funktion zwischen normierten Räumen auf und legt die Fréchet-Differenzierbarkeit zu Grunde, dann wird der Satz sogar falsch:

Als Gegenbeispiel dient hier klassisch die Funktion ${\displaystyle \Phi \colon [0;1]\to L^{1}([0;1]),\ t\mapsto \chi _{[0,t]}}$, wobei ${\displaystyle \chi _{[0,t]}}$ die charakteristische Funktion des Intervalls ${\displaystyle [0,t]}$ bezeichne.

Es gilt für beliebige ${\displaystyle \ 1\geq y\geq x\geq 0}$

${\displaystyle \|\Phi (y)-\Phi (x)\|_{L^{1}}=\int _{0}^{1}|\chi _{[0,y]}(t)-\chi _{[0,x]}(t)|\,dt=\int _{x}^{y}1\ dt=|y-x|}$.

Dabei bezeichne ${\displaystyle \|{\cdot }\|_{L^{1}}}$ die L¹-Norm. Das heißt, ${\displaystyle \Phi }$ ist eine Isometrie und damit erst recht Lipschitz-stetig, es lässt sich aber zeigen, dass ${\displaystyle \Phi }$ nirgendwo Fréchet-differenzierbar ist.

Der deutsche Mathematiker Bernd Kirchheim hat nun aber den Satz von Rademacher in einem anderen Sinne verallgemeinern können:^[2]

Ist eine Funktion von einem euklidischen in einen metrischen Raum Lipschitz-stetig, so ist sie fast überall metrisch differenzierbar.