Satz von Varignon

Beweis

Sei ${\displaystyle ABCD}$ ein Viereck und seien ${\displaystyle E,F,G,H}$ die Mittelpunkte der Seiten (siehe Abbildung). Betrachte das Dreieck ${\displaystyle ABC}$. Nimmt man ${\displaystyle B}$ als Streckzentrum einer zentrischen Streckung, werden ${\displaystyle A}$ auf ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle C}$ auf ${\displaystyle F}$ mit Streckfaktor ½ abgebildet. Nach den Abbildungseigenschaften der zentrischen Streckung – Bildgerade und Urgerade sind parallel – folgt ${\displaystyle AC\parallel EF}$. Ebenso zeigt man, dass auch ${\displaystyle AC\parallel GH}$. Per Transitivität der Parallelitätsrelation folgt ${\displaystyle EF\parallel HG}$. Auf analoge Weise zeigt man, dass auch die beiden anderen Seiten des Mittenvierecks parallel zueinander sind. Das Viereck ${\displaystyle EFGH}$ besteht also aus zwei Paaren paralleler Seiten, was der Definition eines Parallelogramms entspricht.

Weiteres Resultat

Darüber hinaus gilt noch der folgende Zusatz:^[2]

In einem konvexen Viereck halbiert der Schnittpunkt der beiden Verbindungsstrecken zwischen den jeweils einander gegenüberliegenden Seitenmitten stets die Verbindungsstrecke zwischen den Mittelpunkten der beiden Diagonalen.^{[A 2]}