Schamel-Gleichung

Ein für die Plasmaphysik wichtiger Aspekt ist die Existenz eines zweiten Teilcheneinfangkanals, der die Anwesenheit eines chaotischen Einteilchenverhaltens in Resonanznähe signalisiert. Ist dieser Prozess nicht-störungstheoretisch, so ergibt sich die sogenannte logarithmische Schamel-Gleichung^[14] :

${\displaystyle \partial _{t}\phi +(1+b{\sqrt {\phi }}-D\ln {\phi })\partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0}$ ,

mit ${\displaystyle D<0}$ einem zweiten Teilcheneinfangparameter. Ihre solitäre Wellenlösungen sind im stationären Limes ${\displaystyle \phi (x-v_{0}t)}$ implizit durch die Umkehrfunktion

${\displaystyle x(\phi )=\int _{\phi }^{\psi }{\frac {d\xi }{\sqrt {-2{\mathcal {V}}(\xi )}}}}$

gegeben mit

${\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi )=-{\frac {\phi ^{2}}{2}}\left[{\frac {8b}{15}}\left({\sqrt {\psi }}-{\sqrt {\phi }}\right)+D\ln {\frac {\phi }{\psi }}\right]}$,

dem sogenannten Pseudo-Potential. Da das Integral durch mathematisch bekannte Funktionen nicht gelöst werden kann, bleibt die explizite Gestalt von ${\displaystyle \phi (x)}$ generell unbekannt. Die Phasengeschwindigkeit ist allerdings gegeben und lautet:

${\displaystyle v_{0}=1+{\frac {8b}{15}}{\sqrt {\psi }}+D\left(\ln \psi -{\frac {3}{2}}\right)}$.

Explizite Lösungen ergeben sich erst durch Nullsetzen eines der beiden Parameter. Es gilt für ${\displaystyle D=0}$:

${\displaystyle \phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{4}\left({\sqrt {\frac {b{\sqrt {\psi }}}{30}}}x\right)}$

und für ${\displaystyle b=0}$:

${\displaystyle \phi (x)=\psi e^{Dx^{2}/4}}$,

zwei wohlbekannte solitäre Wellenlösungen.

Nahe isothermen Elektronenzuständen gilt für ionenakustische Wellen:

${\displaystyle \partial _{t}\phi +(1+b{\sqrt {\phi }}+\phi )\partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0}$

Sie wird Schamel-Korteweg-de-Vries-Gleichung genannt und hat als solitäre Wellenlösung^[15] :

${\displaystyle \phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{4}(y)\left[1+{\frac {1}{1+Q}}\tanh ^{2}(y)\right]^{-2}}$

mit ${\displaystyle y={\frac {x}{2}}{\sqrt {\frac {\psi (1+Q)}{12}}}}$ und ${\displaystyle Q={\frac {8b}{5{\sqrt {\psi }}}}}$ .

Für ${\displaystyle 1\ll Q}$ ergibt sich die solitäre Welle der Schamel-Gleichung:

${\displaystyle \phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{4}\left({\sqrt {\frac {b{\sqrt {\psi }}}{30}}}x\right)}$

und für ${\displaystyle 1\gg Q}$ die der Korteweg-de-Vries-Gleichung:

${\displaystyle \phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{2}\left({\sqrt {\frac {\psi }{12}}}x\right)}$ .

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