Schnittwinkel (Geometrie)

Zwei Geraden

Liegen die beiden Geraden in Normalform vor, ${\displaystyle y_{1}=m_{1}x+b_{1}}$ und ${\displaystyle y_{2}=m_{2}x+b_{2}}$, so gilt für den Schnittwinkel ${\displaystyle \alpha }$ zwischen den beiden Geraden

${\displaystyle \tan \alpha =\left|{\frac {m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}\cdot m_{2}}}\right|,}$

falls ${\displaystyle m_{1}\cdot m_{2}\neq -1}$. Dabei ist ${\displaystyle \tan \alpha }$ der Tangens des Schnittwinkels und ${\displaystyle |\cdot |}$ der Absolutbetrag. Hieraus kann man mithilfe des Arkustangens den Schnittwinkel bestimmen. Gilt ${\displaystyle m_{1}\cdot m_{2}=-1}$, so schneiden sich die beiden Geraden rechtwinklig. Diese Formel lässt sich nur für Geraden in der Ebene anwenden.

Herleitung

Die Steigungswinkel ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}}$ und die Steigungen ${\displaystyle m_{1},m_{2}}$ der linearen Funktionen hängen über ${\displaystyle \tan \alpha _{1}=m_{1}}$ und ${\displaystyle \tan \alpha _{2}=m_{2}}$ miteinander zusammen. Aus den Steigungswinkeln kann man den Schnittwinkel ${\displaystyle \alpha }$ sofort berechnen als ${\displaystyle |\alpha _{1}-\alpha _{2}|}$ bzw. ${\displaystyle 180^{\circ }-|\alpha _{1}-\alpha _{2}|}$, je nachdem ob die Differenz der Steigungswinkel höchstens ${\displaystyle 90^{\circ }}$ oder größer als ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ist. Für ${\displaystyle |\alpha _{1}-\alpha _{2}|<90^{\circ }}$ folgt mit dem Additionstheorem für den Tangens ${\displaystyle \tan \alpha =\tan |\alpha _{1}-\alpha _{2}|=\left|{\frac {\tan \alpha _{1}-\tan \alpha _{2}}{1+\tan \alpha _{1}\cdot \tan \alpha _{2}}}\right|=\left|{\frac {m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}\cdot m_{2}}}\right|}$. Für ${\displaystyle |\alpha _{1}-\alpha _{2}|>90^{\circ }}$ erhält man unter Benutzung von ${\displaystyle \tan(180^{\circ }-|\alpha _{1}-\alpha _{2}|)=-\tan |\alpha _{1}-\alpha _{2}|}$ dieselbe Formel.

Zum Beispiel gilt für den Schnittwinkel ${\displaystyle \alpha }$ der Geraden ${\displaystyle y_{1}=2x-1}$ und ${\displaystyle y_{1}=-0,6x+5}$ die Beziehung

${\displaystyle \tan \alpha =\left|{\frac {2-(-0{,}6)}{1+2\cdot (-0{,}6)}}\right|=13}$,

aus der man den Schnittwinkel ${\displaystyle \alpha =\arctan 13\approx 85{,}6^{\circ }}$ erhält.

Sind die Geraden in Parameterform gegeben, ${\displaystyle g\colon \ {\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {a}}}$ und ${\displaystyle h\colon \ {\vec {x}}={\vec {q}}+s{\vec {b}}}$, so gilt für den Schnittwinkel ${\displaystyle \alpha }$ die Beziehung

${\displaystyle \cos \alpha =|\cos \varphi |={\frac {|{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}|}{|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|}}}$.

Dabei bezeichnen ${\displaystyle |{\vec {a}}|}$ und ${\displaystyle |{\vec {b}}|}$ jeweils die Längen der Vektoren, ${\displaystyle \varphi }$ den von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkel und ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}$ ihr Skalarprodukt. Hieraus kann man mithilfe des Arkuskosinus den Schnittwinkel bestimmen. Diese Formel lässt sich sowohl für Geraden in der Ebene als auch im euklidischen Raum anwenden.

Herleitung

Da die Neigung zweier Geraden zueinander von Parallelverschiebungen unberührt bleibt, genügt es, zwei sich schneidende Ursprungsgeraden ${\displaystyle g\colon {\vec {x}}=s{\vec {a}}}$ und ${\displaystyle h\colon {\vec {x}}=t{\vec {b}}}$ zu betrachten. Ist der von den Richtungsvektoren ${\displaystyle {\vec {a}}}$ und ${\displaystyle {\vec {b}}}$ eingeschlossene Winkel ${\displaystyle \varphi \leq 90^{\circ }}$, so handelt es sich schon um den Schnittwinkel ${\displaystyle \alpha }$ und aus der geometrischen Definition ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \varphi }$ des Skalarprodukts folgt sofort ${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}}$. Ist hingegen ${\displaystyle \varphi >90^{\circ }}$, so ist der Nebenwinkel von ${\displaystyle \varphi }$ der Schnittwinkel, d. h. es gilt ${\displaystyle \alpha =180^{\circ }-\varphi }$ und somit ${\displaystyle \varphi =180^{\circ }-\alpha }$. Einsetzen in die geometrische Definition des Skalarprodukts und ${\displaystyle \cos(180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha }$ liefert ${\displaystyle \cos \alpha =-{\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}}$. Da aber im ersten Fall ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\geq 0}$ und im zweiten Fall ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}<0}$ gilt, lassen sich die beiden Formeln mithilfe des Absolutbetrags zu der oben angegebenen Formel zusammenfassen.

Zum Beispiel gilt für den Schnittwinkel zwischen den Raumgeraden mit den Richtungsvektoren ${\displaystyle {\vec {a}}=(1,4,5)^{T}}$ und ${\displaystyle {\vec {b}}=(2,1,3)^{T}}$ die Beziehung

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {|1\cdot 2+4\cdot 1+5\cdot 3|}{{\sqrt {1^{2}+4^{2}+5^{2}}}\,{\sqrt {2^{2}+1^{2}+3^{2}}}}}={\frac {3}{2{\sqrt {3}}}}.}$

Hieraus erhält man den Schnittwinkel ${\textstyle \alpha =\arccos {\frac {3}{2{\sqrt {3}}}}=30^{\circ }}$.

Eine Gerade und eine Ebene

Unter dem Schnittwinkel einer Geraden ${\displaystyle g}$ und einer Ebene ${\displaystyle E}$ versteht man den Winkel ${\displaystyle \alpha }$ zwischen ${\displaystyle g}$ und derjenigen Geraden ${\displaystyle h}$ in ${\displaystyle E}$, die von allen in ${\displaystyle E}$ liegenden Geraden den kleinsten Winkel mit ${\displaystyle g}$ einschließt. Bei dieser Geraden ${\displaystyle h}$ handelt es sich um die Orthogonalprojektion von ${\displaystyle g}$ auf ${\displaystyle E}$. Der Winkel ${\displaystyle \alpha }$ ergänzt sich mit dem Winkel ${\displaystyle \beta }$ zwischen ${\displaystyle g}$ und einer zu ${\displaystyle E}$ senkrechten Gerade zu ${\displaystyle 90^{\circ }}$. Falls ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ein Normalenvektor von ${\displaystyle E}$ (und somit Richtungsvektor einer zu ${\displaystyle E}$ senkrechten Geraden) ist und ${\displaystyle {\vec {a}}}$ Richtungsvektor von ${\displaystyle g}$ ist, so gilt nach der Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden ${\textstyle \cos \beta =|{\vec {n}}\cdot {\vec {x}}|/(|{\vec {n}}|\,|{\vec {x}}|).}$ Da sich die Winkel ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$ zu ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ergänzen und ${\displaystyle \cos(90^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha }$, erhält man die folgende Formel für den Schnittwinkel ${\displaystyle \alpha }$ einer Geraden mit Richtungsvektor ${\displaystyle {\vec {a}}}$ und einer Ebene mit Normalenvektor ${\displaystyle {\vec {n}}}$:^[3][4]

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {|{\vec {n}}\cdot {\vec {a}}|}{|{\vec {n}}|\,|{\vec {a}}|}}.}$

Zwei Ebenen

Unter dem Schnittwinkel ${\displaystyle \alpha }$ zweier sich schneidender Ebenen ${\displaystyle E_{1}}$ und ${\displaystyle E_{2}}$ versteht man den Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden ${\displaystyle g_{1}}$ und ${\displaystyle g_{2}}$, die in ${\displaystyle E_{1}}$ und ${\displaystyle E_{2}}$ liegen und auf der Schnittgeraden senkrecht stehen.^[5] Sind ${\displaystyle {\vec {n}}_{1}}$ und ${\displaystyle {\vec {n}}_{2}}$ Normalenvektoren der Ebenen ${\displaystyle E_{1}}$ und ${\displaystyle E_{2}}$, so steht ${\displaystyle {\vec {n}}_{1}}$auf ${\displaystyle E_{1}}$ und daher auf ${\displaystyle g_{1}}$ senkrecht. Ebenso ist ${\displaystyle {\vec {n}}_{2}}$ senkrecht zu ${\displaystyle E_{2}}$ und somit zu ${\displaystyle g_{2}}$. Der Winkel zwischen den Normalenvektoren ${\displaystyle {\vec {n}}_{1}}$ und ${\displaystyle {\vec {n}}_{2}}$ ist deshalb gleich dem Winkel ${\displaystyle \alpha }$ (siehe Abbildung) zwischen den beiden Ebenen oder ergänzt sich mit diesem zu ${\displaystyle 180^{\circ }}$ (falls der Winkel zwischen ${\displaystyle {\vec {n}}_{1}}$ und ${\displaystyle {\vec {n}}_{2}}$ größer als ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ist). In beiden Fällen lässt sich der Schnittwinkel der beiden Ebenen als Winkel zweier auf diesen Ebenen senkrecht stehenden Geraden mit ${\displaystyle {\vec {n}}_{1}}$ und ${\displaystyle {\vec {n}}_{2}}$ als Richtungsvektoren berechnen. Nach der Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden in Parameterform gilt somit für den Schnittwinkel ${\displaystyle \alpha }$ zweier sich schneidender Ebenen mit Normalenvektoren ${\displaystyle {\vec {n}}_{1}}$ und ${\displaystyle {\vec {n}}_{2}}$ die folgende Beziehung:^[6][4]

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {|{\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2}|}{|{\vec {n}}_{1}|\,|{\vec {n}}_{2}|}}.}$

Schnittwinkel zweier Funktionsgraphen

Der Schnittwinkel zwischen den Graphen zweier differenzierbaren Funktionen, die sich in einem Punkt ${\displaystyle (x_{S},y_{S})}$ schneiden, ist definiert als der Schnittwinkel, den ihre Tangenten in ${\displaystyle (x_{S},y_{S})}$ bilden.^[7] Die Tangentensteigungen im Schnittpunkt betragen aber ${\displaystyle f'(x_{S})}$ und ${\displaystyle g'(x_{S})}$; wendet man die Formel für den Schnittwinkel zweier linearer Funktionen auf die Tangenten an, so erhält man für${\displaystyle f'(x_{S})\cdot g'(x_{S})\neq -1}$ die Beziehung

${\displaystyle \tan \alpha =\left|{\frac {f'(x_{S})-g'(x_{S})}{1+f'(x_{S})\cdot g'(x_{S})}}\right|}$ .

Für ${\displaystyle f'(x_{S})\cdot g'(x_{S})=-1}$ hingegen beträgt der Schnittwinkel ${\displaystyle 90^{\circ }}$.

Beispiele

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion schneiden sich an der Stelle ${\displaystyle x_{S}=\pi /4}$. Für den zugehörigen Schnittwinkel gilt

${\displaystyle \tan \alpha =\left|{\frac {\sin '(\pi /4)-\cos '(\pi /4)}{1+\sin '(\pi /4)\cdot \cos '(\pi /4)}}\right|=\left|{\frac {1/{\sqrt {2}}-\left(-1/{\sqrt {2}}\right)}{1+\left(1/{\sqrt {2}}\right)\cdot \left(-1/{\sqrt {2}}\right)}}\right|=2{\sqrt {2}}}$.

Hieraus erhält man ${\displaystyle \alpha =\arctan(2{\sqrt {2}})\approx 70{,}53^{\circ }}$.^[8]

Schnittwinkel zweier Kurven

Schneiden sich zwei differenzierbare Kurven in einem Punkt, so ist der Schnittwinkel der beiden Kurven in diesem Punkt definiert als Schnittwinkel ihrer Tangenten oder (äquivalent dazu) ihrer Tangentialvektoren in diesem Punkt.^[9][10]

Schnittwinkel einer Kurve mit einer Fläche

Schneiden sich eine differenzierbaren Kurve und einer differenzierbaren Fläche in einem Punkt, so ist der Schnittwinkel der Kurve und der Fläche in diesem Punkt definiert als Schnittwinkel des Tangentialvektors ${\displaystyle {\vec {a}}}$ der Kurve mit dem Normalenvektor ${\displaystyle {\vec {n}}}$ der Fläche an diesem Punkt. Dieser Schnittwinkel ist gleich dem Winkel zwischen dem Tangentialvektor der Kurve und dessen Orthogonalprojektion auf die Tangentialebene der Fläche.

Schnittwinkel zweier Flächen

Schneiden sich zwei differenzierbare Flächen in einer Schnittkurve, so lässt sich der Schnittwinkel für jeden Punkt der Schnittkurve definieren als Schnittwinkel der Normalenvektoren ${\displaystyle {\vec {n}}}$ und ${\displaystyle {\vec {m}}}$ der Flächen an den betrachteten Punkt. Im Gegensatz zum Schnittpunkt von Ebenen hängt der Schnittwinkel dabei im Allgemeinen vom Punkt auf der Schnittkurve ab.