Schulze-Methode

Paarweise Matrix

Tabelle, die jeden Kandidaten mit jedem anderen vergleicht. Die rot markierten Felder werden weiter benutzt. Z. B. wurde Kandidat ${\displaystyle B}$ von ${\displaystyle 25}$ Stimmen gegenüber ${\displaystyle A}$ bevorzugt.

	${\displaystyle d[\ast ,A]}$	${\displaystyle d[\ast ,B]}$	${\displaystyle d[\ast ,C]}$	${\displaystyle d[\ast ,D]}$	${\displaystyle d[\ast ,E]}$
${\displaystyle d[A,\ast ]}$		20	26	30	22
${\displaystyle d[B,\ast ]}$	25		16	33	18
${\displaystyle d[C,\ast ]}$	19	29		17	24
${\displaystyle d[D,\ast ]}$	15	12	28		14
${\displaystyle d[E,\ast ]}$	23	27	21	31

Paarweiser Graph

Graph mit gewichteten Pfeilen aus der Tabelle von oben. Man sieht den Pfeil von Kandidat ${\displaystyle B}$ zu Kandidat ${\displaystyle A}$ mit dem Gewicht von ${\displaystyle 25}$ aus der obigen Tabelle.

Die stärksten Wege

Von den Verbindungen zwischen Kandidaten wird diejenige gesucht, bei der das schwächste Glied am stärksten ist. Bildlich gesprochen wird die stärkste Kette gesucht. Wie kommt man von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle B}$?

• Bei ${\displaystyle A}$ über ${\displaystyle C}$ nach ${\displaystyle B}$ ist das schwächste Glied von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle C}$ mit ${\displaystyle 26}$.
• Bei ${\displaystyle A}$ über ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle C}$ nach ${\displaystyle B}$ ist das schwächste Glied ${\displaystyle D}$ nach ${\displaystyle C}$ mit ${\displaystyle 28}$. Diese Kette ist stärker und ${\displaystyle 28}$ wird nachfolgend verwendet.

Man kann sich den Vorgang beispielsweise aus Sicht eines Transportunternehmens vorstellen, das möglichst viele Pakete auf einmal von einer Stadt in die andere transportieren möchte (egal wie lang der Weg ist). Ohne Zwischenlager kann natürlich nur so viel transportiert werden wie das Fassungsvermögen des kleinsten Transportmittels, das am Weg verwendet wird: Wenn die Pakete zuerst per Fähre, dann per Lastkraftwagen und zuletzt per Güterzug transportiert werden, dann ist wahrscheinlich der Lastkraftwagen am kleinsten. Im Vergleich zu einer anderen Route (die z. B. einen Pickup-Truck enthält) ist der Lastkraftwagen damit das schwächste Glied der stärksten Kette.

Oft wird dieses schwächste Glied der stärksten Kette auch kritischer Sieg genannt. Die kritischen Siege der stärksten Wege sind unterstrichen.

	… nach ${\displaystyle A}$	… nach ${\displaystyle B}$	… nach ${\displaystyle C}$	… nach ${\displaystyle D}$	… nach ${\displaystyle E}$
von ${\displaystyle A}$ …		${\displaystyle A{\overset {30}{\longrightarrow }}D{\overset {\underline {28}}{\longrightarrow }}C{\overset {29}{\longrightarrow }}B}$	${\displaystyle A{\overset {30}{\longrightarrow }}D{\overset {\underline {28}}{\longrightarrow }}C}$	${\displaystyle A{\overset {\underline {30}}{\longrightarrow }}D}$	${\displaystyle A{\overset {30}{\longrightarrow }}D{\overset {28}{\longrightarrow }}C{\overset {\underline {24}}{\longrightarrow }}E}$
von ${\displaystyle B}$ …	${\displaystyle B{\overset {\underline {25}}{\longrightarrow }}A}$		${\displaystyle B{\overset {33}{\longrightarrow }}D{\overset {\underline {28}}{\longrightarrow }}C}$	${\displaystyle B{\overset {\underline {33}}{\longrightarrow }}D}$	${\displaystyle B{\overset {33}{\longrightarrow }}D{\overset {28}{\longrightarrow }}C{\overset {\underline {24}}{\longrightarrow }}E}$
von ${\displaystyle C}$ …	${\displaystyle C{\overset {29}{\longrightarrow }}B{\overset {\underline {25}}{\longrightarrow }}A}$	${\displaystyle C{\overset {\underline {29}}{\longrightarrow }}B}$		${\displaystyle C{\overset {\underline {29}}{\longrightarrow }}B{\overset {33}{\longrightarrow }}D}$	${\displaystyle C{\overset {\underline {24}}{\longrightarrow }}E}$
von ${\displaystyle D}$ …	${\displaystyle D{\overset {28}{\longrightarrow }}C{\overset {29}{\longrightarrow }}B{\overset {\underline {25}}{\longrightarrow }}A}$	${\displaystyle D{\overset {\underline {28}}{\longrightarrow }}C{\overset {29}{\longrightarrow }}B}$	${\displaystyle D{\overset {\underline {28}}{\longrightarrow }}C}$		${\displaystyle D{\overset {28}{\longrightarrow }}C{\overset {\underline {24}}{\longrightarrow }}E}$
von ${\displaystyle E}$ …	${\displaystyle E{\overset {31}{\longrightarrow }}D{\overset {28}{\longrightarrow }}C{\overset {29}{\longrightarrow }}B{\overset {\underline {25}}{\longrightarrow }}A}$	${\displaystyle E{\overset {31}{\longrightarrow }}D{\overset {\underline {28}}{\longrightarrow }}C{\overset {29}{\longrightarrow }}B}$	${\displaystyle E{\overset {31}{\longrightarrow }}D{\overset {\underline {28}}{\longrightarrow }}C}$	${\displaystyle E{\overset {\underline {31}}{\longrightarrow }}D}$

Die Stärken der stärksten Wege

Das schwächste Glied der stärksten Verbindung, wie oben gefunden, wird in eine Tabelle eingetragen. Dann wird wieder paarweise verglichen, wer wen schlägt, in der Tabelle unten wieder rot markiert.

	${\displaystyle p[\ast ,A]}$	${\displaystyle p[\ast ,B]}$	${\displaystyle p[\ast ,C]}$	${\displaystyle p[\ast ,D]}$	${\displaystyle p[\ast ,E]}$
${\displaystyle p[A,\ast ]}$		28	28	30	24
${\displaystyle p[B,\ast ]}$	25		28	33	24
${\displaystyle p[C,\ast ]}$	25	29		29	24
${\displaystyle p[D,\ast ]}$	25	28	28		24
${\displaystyle p[E,\ast ]}$	25	28	28	31

Ergebnis

Sieger nach der Schulze-Methode ist Kandidat ${\displaystyle E}$, da ${\displaystyle p[E,X]\geq p[X,E]}$ ist für jeden anderen Kandidaten ${\displaystyle X}$.

• Wegen ${\displaystyle 25=p[E,A]>p[A,E]=24}$ ist Kandidat ${\displaystyle E}$ besser als Kandidat ${\displaystyle A}$.
• Wegen ${\displaystyle 28=p[E,B]>p[B,E]=24}$ ist Kandidat ${\displaystyle E}$ besser als Kandidat ${\displaystyle B}$.
• Wegen ${\displaystyle 28=p[E,C]>p[C,E]=24}$ ist Kandidat ${\displaystyle E}$ besser als Kandidat ${\displaystyle C}$.
• Wegen ${\displaystyle 31=p[E,D]>p[D,E]=24}$ ist Kandidat ${\displaystyle E}$ besser als Kandidat ${\displaystyle D}$.
• Wegen ${\displaystyle 28=p[A,B]>p[B,A]=25}$ ist Kandidat ${\displaystyle A}$ besser als Kandidat ${\displaystyle B}$.
• Wegen ${\displaystyle 28=p[A,C]>p[C,A]=25}$ ist Kandidat ${\displaystyle A}$ besser als Kandidat ${\displaystyle C}$.
• Wegen ${\displaystyle 30=p[A,D]>p[D,A]=25}$ ist Kandidat ${\displaystyle A}$ besser als Kandidat ${\displaystyle D}$.
• Wegen ${\displaystyle 29=p[C,B]>p[B,C]=28}$ ist Kandidat ${\displaystyle C}$ besser als Kandidat ${\displaystyle B}$.
• Wegen ${\displaystyle 29=p[C,D]>p[D,C]=28}$ ist Kandidat ${\displaystyle C}$ besser als Kandidat ${\displaystyle D}$.
• Wegen ${\displaystyle 33=p[B,D]>p[D,B]=28}$ ist Kandidat ${\displaystyle B}$ besser als Kandidat ${\displaystyle D}$.

Das Schulze-Ranking ist somit ${\displaystyle E>A>C>B>D}$.

Paarweise Matrix

	${\displaystyle d[\ast ,A]}$	${\displaystyle d[\ast ,B]}$	${\displaystyle d[\ast ,C]}$	${\displaystyle d[\ast ,D]}$
${\displaystyle d[A,\ast ]}$		5	5	3
${\displaystyle d[B,\ast ]}$	4		7	5
${\displaystyle d[C,\ast ]}$	4	2		5
${\displaystyle d[D,\ast ]}$	6	4	4

Paarweiser Graph

Die stärksten Wege

Die kritischen Siege der stärksten Wege sind unterstrichen.

	… nach ${\displaystyle A}$	… nach ${\displaystyle B}$	… nach ${\displaystyle C}$	… nach ${\displaystyle D}$
von ${\displaystyle A}$ …		${\displaystyle A{\overset {\underline {5}}{\longrightarrow }}B}$	${\displaystyle A{\overset {\underline {5}}{\longrightarrow }}C}$	${\displaystyle A{\overset {\underline {5}}{\longrightarrow }}B{\overset {\underline {5}}{\longrightarrow }}D}$
von ${\displaystyle B}$ …	${\displaystyle B{\overset {\underline {5}}{\longrightarrow }}D{\overset {6}{\longrightarrow }}A}$		${\displaystyle B{\overset {\underline {7}}{\longrightarrow }}C}$	${\displaystyle B{\overset {\underline {5}}{\longrightarrow }}D}$
von ${\displaystyle C}$ …	${\displaystyle C{\overset {\underline {5}}{\longrightarrow }}D{\overset {6}{\longrightarrow }}A}$	${\displaystyle C{\overset {\underline {5}}{\longrightarrow }}D{\overset {6}{\longrightarrow }}A{\overset {\underline {5}}{\longrightarrow }}B}$		${\displaystyle C{\overset {\underline {5}}{\longrightarrow }}D}$
von ${\displaystyle D}$ …	${\displaystyle D{\overset {\underline {6}}{\longrightarrow }}A}$	${\displaystyle D{\overset {6}{\longrightarrow }}A{\overset {\underline {5}}{\longrightarrow }}B}$	${\displaystyle D{\overset {6}{\longrightarrow }}A{\overset {\underline {5}}{\longrightarrow }}C}$

Die Stärken der stärksten Wege

Das schwächste Glied der stärksten Verbindung wie oben gefunden, wird in eine Tabelle eingetragen. Dann wird wieder paarweise verglichen, wer wen schlägt, in der Tabelle unten wieder rot markiert. Violett markiert ist jeder Gleichstand.

	${\displaystyle p[\ast ,A]}$	${\displaystyle p[\ast ,B]}$	${\displaystyle p[\ast ,C]}$	${\displaystyle p[\ast ,D]}$
${\displaystyle p[A,\ast ]}$		5	5	5
${\displaystyle p[B,\ast ]}$	5		7	5
${\displaystyle p[C,\ast ]}$	5	5		5
${\displaystyle p[D,\ast ]}$	6	5	5

Ergebnis

Potentielle Sieger nach der Schulze-Methode sind somit Kandidat ${\displaystyle B}$ und Kandidat ${\displaystyle D}$, da

${\displaystyle p[B,X]\geq p[X,B]}$ ist für jeden anderen Kandidaten ${\displaystyle X}$ und

${\displaystyle p[D,Y]\geq p[Y,D]}$ ist für jeden anderen Kandidaten ${\displaystyle Y}$.

Wegen ${\displaystyle 7=p[B,C]>p[C,B]=5}$ ist Kandidat ${\displaystyle B}$ besser als Kandidat ${\displaystyle C}$.

Wegen ${\displaystyle 6=p[D,A]>p[A,D]=5}$ ist Kandidat ${\displaystyle D}$ besser als Kandidat ${\displaystyle A}$.

Mögliche Schulze-Rankings sind somit

• ${\displaystyle B>C>D>A}$,
• ${\displaystyle B>D>A>C}$,
• ${\displaystyle B>D>C>A}$,
• ${\displaystyle D>A>B>C}$,
• ${\displaystyle D>B>A>C}$ und
• ${\displaystyle D>B>C>A}$.