Sehnensatz

Euklid formulierte und bewies den Sehnensatz in seinen Elementen (Buch III, § 35).

Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sehnen, die sich in einem Punkt ${\displaystyle S}$ schneiden. Die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sehne seien mit ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle C}$, die mit der anderen Sehne mit ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle D}$ bezeichnet. Dann gilt:

${\displaystyle |{\overline {AS}}|\cdot |{\overline {CS}}|=|{\overline {BS}}|\cdot |{\overline {DS}}|}$

Die Aussage kann auch als Verhältnisgleichung formuliert werden:

${\displaystyle |{\overline {AS}}|:|{\overline {DS}}|=|{\overline {BS}}|:|{\overline {CS}}|}$

Es gilt auch die Umkehrung des Satzes: Wenn für die Diagonalen eines Vierecks ${\displaystyle ABCD}$ mit dem Diagonalenschnittpunkt ${\displaystyle S}$

${\displaystyle |{\overline {AS}}|\cdot |{\overline {CS}}|=|{\overline {BS}}|\cdot |{\overline {DS}}|}$

gilt, dann besitzt dieses Viereck einen Umkreis, das heißt, es ist ein Sehnenviereck.

Der Sehnensatz lässt sich auch als eine Verallgemeinerung des Höhensatzes von Euklid auffassen. Wählt man die beiden Sehnen nämlich so, dass eine von ihnen dem Durchmesser entspricht und die andere auf ihr senkrecht steht, so bilden deren Endpunkte mit den Endpunkten des Durchmessers nach dem Satz des Thales ein rechtwinkliges Dreieck und die Aussage des Sehnensatzes entspricht in dieser Konfiguration der des Höhensatzes von Euklid.

Der Satz kann mithilfe der Ähnlichkeit von Dreiecken bewiesen werden. Man betrachte dazu die Dreiecke ${\displaystyle \triangle ASD}$ und ${\displaystyle \triangle BSC}$ in der nebenstehenden Abbildung. ${\displaystyle \angle ADS}$ und ${\displaystyle \angle SCB}$ sind Umfangswinkel über demselben Kreisbogen ${\displaystyle AB}$ und als solche nach dem Umfangswinkelsatz gleich groß. Außerdem sind die Winkel ${\displaystyle \angle DSA}$ und ${\displaystyle \angle BSC}$ als Scheitelwinkel gleich groß. Also stimmen die Dreiecke ${\displaystyle \triangle ASD}$ und ${\displaystyle \triangle BSC}$ in zwei und folglich auch in drei Winkeln überein, das heißt sie sind nach dem W:W:W-Satz ähnlich. Daraus folgt

${\displaystyle {\frac {|{\overline {AS}}|}{|{\overline {SD}}|}}={\frac {|{\overline {BS}}|}{|{\overline {SC}}|}}}$,

was sich durch kreuzweise Multiplikation umformen lässt zu

${\displaystyle |{\overline {AS}}|\cdot |{\overline {SC}}|=|{\overline {BS}}|\cdot |{\overline {SD}}|}$.

Ein rechnerischer Nachweis mit Hilfe des Satzes von Vieta ist in dem Artikel Potenz (Geometrie) enthalten.

• Sekantensatz
• Sekanten-Tangenten-Satz
• Potenz (Geometrie), vereinigt die Aussage von Sehnen-, Sekanten- und Sekanten-Tangentensatz in einem einheitlichen Konzept

• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 2. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-67643-0 (Springer-Lehrbuch), S. 148
• Hans Schupp: Elementargeometrie. Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 149 (Uni-Taschenbücher 669).
• Schülerduden – Mathematik I. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S. 415–417

Wikibooks: Beweis des Sehnensatzes – Lern- und Lehrmaterialien

• Intersecting Chords Theorem auf cut-the-knot.org
• Intersecting Chords Theorem auf proofwiki.org
• Eric W. Weisstein: Chord. In: MathWorld (englisch).