Satz des Thales

Riemengetriebe

Bei den zwei folgenden Anwendungen (offenes bzw. gekreuztes Riemengetriebe) wird jeweils ein Hilfskreis ${\displaystyle k_{3}}$ (grün) in bzw. um die größere der beiden Riemenscheiben erstellt. An diesen werden die vom Mittelpunkt ${\displaystyle M_{2}}$ der kleineren Riemenscheibe ausgehenden Tangenten gemäß obiger Beschreibung ermittelt. Die an beiden Scheiben anliegenden Tangenten sind Parallelen der den Hilfskreis berührenden.

Zahl größer als 1

Soll die Quadratwurzel einer reellen Zahl, die größer als 1 ist, gefunden werden, ohne vorherige Aufteilung der Zahl in ${\displaystyle p}$- und ${\displaystyle q}$-Anteile, eignet sich dafür die Methode, die das nebenstehende Bild zeigt. Im Prinzip sind damit auch Quadratwurzeln von Zahlen, die kleiner als 1 sind, vorstellbar.

Es beginnt mit dem Einzeichnen der Strecke ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ mit Länge ${\displaystyle p=1}$ auf einer hier nicht näher bezeichneten Geraden. Ist die gegebene Zahl ${\displaystyle q}$ eine ganze Zahl, wird das Produkt ${\displaystyle q\cdot {\overline {BD}}}$ ab dem Punkt ${\displaystyle D}$ auf die Gerade abgetragen; d. h. ist z. B. die Zahl ${\displaystyle q=8}$, wird die Strecke ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ achtmal abgetragen. Der dadurch entstehende Schnittpunkt ${\displaystyle A}$ bringt die Hypotenuse ${\displaystyle c=p+q}$ des entstehenden Dreiecks ${\displaystyle ABC}$.

Ist ${\displaystyle q}$ eine reelle Zahl, besteht u. a. auch die Möglichkeit, ${\displaystyle q}$ mithilfe des dritten Strahlensatzes zu konstruieren.

Es folgen die Senkrechte auf ${\displaystyle c}$ im Punkt ${\displaystyle D}$ und die Halbierung der Seite ${\displaystyle c}$ in ${\displaystyle M}$. Abschließend wird der Thaleskreis um ${\displaystyle M}$ gezogen.

• Nach dem Höhensatz des Euklid gilt ${\displaystyle h^{2}=p\cdot q}$, daraus folgt ${\displaystyle h^{2}=1\cdot q}$,

somit ist die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ gleich der Quadratwurzel aus ${\displaystyle q}$.

• Nach dem Kathetensatz des Euklid gilt ${\displaystyle a^{2}=p\cdot c,}$ daraus folgt ${\displaystyle a^{2}=1\cdot c,}$

somit ist die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des rechtwinkligen Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ gleich der Quadratwurzel aus ${\displaystyle c}$.

Zahl kleiner als 1

Ist die Quadratwurzel einer Zahl, die kleiner als ${\displaystyle 1}$ ist, gesucht, eignet sich dafür die Methode, die das nebenstehende Bild zeigt.

Es beginnt ab dem Punkt ${\displaystyle A}$ (Wert ${\displaystyle 0}$) mit einer Halbgeraden. Darauf wird die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ mit Länge ${\displaystyle 1}$ und die Strecke ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ mit Länge ${\displaystyle 0{,}1}$ bestimmt. Dabei ergibt sich die Hypotenuse ${\displaystyle c}$ des entstehenden Dreiecks ${\displaystyle ABC.}$ Hat die gegebene Dezimalzahl ${\displaystyle q}$ nur eine Nachkommastelle, wird das Produkt ${\displaystyle q\cdot {\overline {AE}}}$ ab dem Punkt ${\displaystyle A}$ abgetragen; d. h. ist z. B. ${\displaystyle q=0{,}8}$ wird die Strecke ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ achtmal abgetragen. Der dadurch entstehende Schnittpunkt ${\displaystyle D}$ bringt ${\displaystyle c=p+q.}$

Wenn die gegebene Dezimalzahl ${\displaystyle q}$ mehr als eine Nachkommastelle hat, z. B. ${\displaystyle q=0{,}86}$, besteht u. a. die Möglichkeit, wie bereits oben im Abschnitt Zahl größer als 1 darauf hingewiesen, ${\displaystyle q}$ mithilfe des dritten Strahlensatzes zu konstruieren.

Es folgen die Senkrechte auf die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ im Punkt ${\displaystyle D}$ und die Halbierung der Seite ${\displaystyle c}$ in ${\displaystyle M.}$ Abschließend wird der Thaleskreis (Radius ${\displaystyle =0{,}5}$) um ${\displaystyle M}$ gezogen.

• Nach dem Höhensatz des Euklid gilt ${\displaystyle h^{2}=p\cdot q,}$

somit ist die Höhe ${\displaystyle h}$ des rechtwinkligen Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ gleich der Quadratwurzel aus ${\displaystyle p\cdot q}$.

Wegen ${\displaystyle h={\sqrt {p\cdot q}}}$ gilt auch:

Im rechtwinkligen Dreieck ${\displaystyle ABC}$ ist die Länge ${\displaystyle h}$ das geometrische Mittel der Längen ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$.

• Nach dem Satz des Pythagoras gilt für die Seitenlänge ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle b^{2}=q^{2}+p\cdot q}$, darin ist ${\displaystyle p=1-q}$, damit ergibt sich

${\displaystyle b^{2}=q^{2}+q\cdot \left(1-q\right)}$

${\displaystyle b^{2}=q^{2}+q-q^{2}\Rightarrow }$

${\displaystyle b={\sqrt {q}},}$

somit ist die Seitenlänge ${\displaystyle b}$ des rechtwinkligen Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ gleich der Quadratwurzel aus ${\displaystyle q}$.

Für die Seitenlänge ${\displaystyle a:}$

Mit den entsprechenden Werten für die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ ergibt sich

${\displaystyle a={\sqrt {p}},}$

somit ist die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des rechtwinkligen Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ gleich der Quadratwurzel aus ${\displaystyle p.}$

Bemerkung zur Übertragung in (Prä-)Hilbert-Räume

Die bekannten geometrischen Eigenschaften aus der Ebene wurden dabei wie folgt auf (Prä-)Hilbert-Räume übertragen:

• ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=2\cdot w}$ und ${\displaystyle {\overrightarrow {AM}}=w}$, bedeutet, dass ${\displaystyle M}$ der Mittelpunkt der Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ist.
• ${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}=v_{1}}$, ${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}=v_{2}}$ sind die Katheten des Dreiecks,
• Durch ${\displaystyle {\overrightarrow {MC}}=r}$ und ${\displaystyle \|w\|=\|r\|}$ liegt der Punkt ${\displaystyle C}$ auf einem Halbkreis mit dem Radius ${\displaystyle \|r\|}$.

Beweisschritt 1 – Orthogonalität der Katheten

Man berechnet nun ${\displaystyle \langle v_{1},v_{2}\rangle }$ durch Einsetzung und Anwendung der Eigenschaften des Skalarproduktes:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\langle v_{1},v_{2}\rangle &=&\langle w+r,-w+r\rangle \\&=&\langle w+r,-w\rangle +\langle w+r,r\rangle \\&=&{\big (}-\underbrace {\langle w,w\rangle } _{=\|w\|^{2}}-\langle r,w\rangle {\big )}+{\big (}\langle w,r\rangle +\underbrace {\langle r,r\rangle } _{=\|r\|^{2}}{\big )}\\&=&-{\underbrace {\|w\|} _{=\|r\|}}^{2}+\langle r,w\rangle -\underbrace {\overline {\langle r,w\rangle }} _{=\langle r,w\rangle \in \mathbb {R} }+\|r\|^{2}=0\\\end{array}}}$

Beweisschritt 2 – Orthogonalität der Katheten

Damit gilt ${\displaystyle \langle v_{1},v_{2}\rangle =0}$ und das Dreieck mit den obigen Katheten ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ und der Hypotenuse ${\displaystyle 2\cdot w}$ ist rechtwinklig. ${\displaystyle \Box }$

Beweisschritt 1 – Verwendung der Orthogonalität

Man berechnet nun ${\displaystyle \langle v_{1},v_{2}\rangle }$ durch Einsetzung und Anwendung der Eigenschaften des Skalarproduktes:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}0&=&\langle v_{1},v_{2}\rangle =\langle w+r,-w+r\rangle \\&=&\langle w+r,-w\rangle +\langle w+r,r\rangle \\&=&{\big (}-\underbrace {\langle w,w\rangle } _{=\|w\|^{2}}-\langle r,w\rangle {\big )}+{\big (}\langle w,r\rangle +\underbrace {\langle r,r\rangle } _{=\|r\|^{2}}{\big )}\\&=&-{\underbrace {\|w\|} _{=\|r\|}}^{2}+\langle r,w\rangle -\underbrace {\overline {\langle r,w\rangle }} _{=\langle r,w\rangle \in \mathbb {R} }+\|r\|^{2}\\\end{array}}}$

Beweisschritt 2 – algebraische Umformung

Man erhält durch Einsetzen in Gleichung 1 die folgende Äquivalenz:

${\displaystyle 0=-{\underbrace {\|w\|} _{\geq 0}}^{2}+{\underbrace {\|r\|} _{\geq 0}}^{2}\ \Longrightarrow \|w\|=\|r\|}$

Damit liegt ${\displaystyle C}$ auf dem Kreis mit Radius ${\displaystyle \|r\|=\|w\|}$ um den Punkt ${\displaystyle M}$. ${\displaystyle \quad \Box }$

Bemerkung – Zusatzbedingung für unitäre Vektorräumen

In euklidischen Vektorräume gilt die Bedingung ${\displaystyle \langle w,r\rangle \in \mathbb {R} }$ in natürlicher Weise. In unitären Vektorräumen (über ${\displaystyle \mathbb {C} }$) verlangt man die Bedingung ${\displaystyle \langle w,r\rangle \in \mathbb {R} }$ als Voraussetzung des Satzes des Thales. Gilt ${\displaystyle \langle w,r\rangle \notin \mathbb {R} }$, so kann man ${\displaystyle r}$ durch ${\displaystyle {\widehat {\,r\,}}:={\tfrac {\langle r,w\rangle }{|\langle r,w\rangle |}}\cdot r}$ ersetzen, damit ${\displaystyle \langle w,{\widehat {\,r\,}}\rangle \in \mathbb {R} }$ erfüllt ist.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\langle w,{\widehat {r\,}}\rangle &=&\left\langle w,{\frac {\langle r,w\rangle }{|\langle r,w\rangle |}}\cdot r\right\rangle \\&=&{\frac {\langle r,w\rangle }{|\langle r,w\rangle |}}\cdot \left\langle w,r\right\rangle \\&=&{\tfrac {\overbrace {\overline {\langle w,r\rangle }} ^{=\langle r,w\rangle }}{|\langle r,w\rangle |}}\cdot \left\langle w,r\right\rangle ={\frac {|\langle w,r\rangle |^{2}}{|\langle w,r\rangle |}}=|\langle w,r\rangle |\in \mathbb {R} \\\\\end{array}}}$