Sherrington-Kirkpatrick-Modell

Eigenschaften

• ${\displaystyle H_{N}(\sigma )}$ ist zentriert und gaußsch. Es gilt

${\displaystyle \mathbb {E} [H_{N}(\sigma ^{1})H_{N}(\sigma ^{2})]={\frac {1}{N}}\sum \limits _{i<j}\sigma _{i}^{1}\sigma _{j}^{1}\sigma _{i}^{2}\sigma _{j}^{2}={\frac {N}{2}}\left({\frac {1}{N}}\sum \limits _{i=1}^{N}\sigma _{i}^{1}\sigma _{i}^{2}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}={\frac {N}{2}}\left(R_{1,2}\right)^{2}-{\frac {1}{2}},}$

wobei ${\displaystyle R_{1,2}}$ ein normalisiertes euklidisches Skalarprodukt ist.^[3]

Grenzwertverhalten

Die Partitionsfunktion ist

${\displaystyle Z_{N}(\beta )=\sum \limits _{\sigma \in \Sigma _{N}}\exp(\beta H_{N}(\sigma )),}$

wobei ${\displaystyle \beta >0}$ der inverse Temperatur-Parameter ist. Die freie Energie ist

${\displaystyle F_{N}(\beta )={\frac {1}{N}}\mathbb {E} \log(Z_{N}(\beta )).}$

Dann gilt

${\displaystyle \lim \limits _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\mathbb {E} \left[\max \limits _{\sigma \in \Sigma _{N}}H_{N}(\sigma )\right]=\lim \limits _{\beta \to \infty }{\frac {F(\beta )}{\beta }},}$

wobei ${\displaystyle F(\beta )=\lim \limits _{N\to \infty }F_{N}(\beta ).}$^[4]

Verallgemeinerungen

Eine natürliche Verallgemeinerung ist das gemischte p-Spin-Modell, dessen Hamiltonian aus linearen Kombinationen von ${\displaystyle p}$ Spins (statt nur ${\displaystyle 2}$) besteht.