Slow Feature Analysis

Wenn ein Eingabesignal ${\displaystyle x(t)}$ gegeben ist, wird eine Ein-/Ausgabefunktion ${\displaystyle g(x)}$ gesucht, für die ${\displaystyle y(t)=g(x(t))}$ so wenig wie möglich variiert und ${\displaystyle g}$ nicht konstant ist.

Formal schreibt man:

Gegeben sei ein ${\displaystyle n}$-dimensionales Eingabesignal ${\displaystyle x(t)=[x_{1}(t),\dots ,x_{n}(t)]}$ mit ${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}]}$. Finde eine ${\displaystyle m}$-dimensionale Ein-/Ausgabefunktion ${\displaystyle g(x)=[g_{1}(x),\dots ,g_{m}(x)]}$, die aus ${\displaystyle x(t)}$ die ${\displaystyle m}$-dimensionale Ausgabe ${\displaystyle y(t)=[y_{1}(t),y_{2}(t),\dots ,y_{m}(t)]}$ mit ${\displaystyle y_{i}(t)=g_{i}(x(t))}$ für jedes ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,m\}}$ erzeugt. Dabei müssen für alle ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,m\}}$ folgende Nebenbedingungen erfüllt sein:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{i}=\Delta (y_{i}):&=\langle {\dot {y}}_{i}^{2}\rangle &{\text{ ist minimal}}\\\langle y_{i}\rangle &=0&{\text{(Mittelwert)}}\\\langle y_{i}^{2}\rangle &=1&{\text{(Varianz)}}\\\forall i'<i:\langle y_{i'}y_{i}\rangle &=0&{\text{(Dekorrelation)}}\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle {\dot {y}}}$ die Ableitung nach ${\displaystyle t}$ bezeichnet und ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$ ein Durchschnitt über die Zeit ist:

${\displaystyle \langle f\rangle$ :={\frac {1}{t_{1}-t_{0}}}\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}f(t)\mathrm {d} t}

• Laurenz Wiskott et al.: Slow feature analysis. In: Scholarpedia. 6, Nr. 4, 2011, 5282.