Spiegelungsmatrix

Als Spiegelungsmatrix bezeichnet man in der linearen Algebra eine Matrix, die eine Spiegelung darstellt. Das einfachste Beispiel ist die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden $g$ in der Ebene. Die Spiegelungsabbildung ergibt sich als Matrix-Vektor-Produkt der Matrix mit dem entsprechenden Vektor.

Spiegelung an einer Ursprungsgeraden in der Ebene

Spiegelungsgerade mit Neigungswinkel

Ist $g$ eine Ursprungsgerade mit Neigungswinkel $\alpha$ , so ist die Spiegelung an $g$ eine lineare Abbildung $\varphi _{g}$ . Die darstellende Matrix $S_{g}$ bezüglich der Standardbasis hat die Gestalt

S_{g}={\begin{pmatrix}\cos 2\alpha &\sin 2\alpha \\\sin 2\alpha &-\cos 2\alpha \end{pmatrix}}

.

Beispiel

Die $x$ -Achse ist eine Ursprungsgerade mit Neigungswinkel $\alpha =0$ . Also lautet die Matrix einer Spiegelung an der $x$ -Achse

S={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

.

Herleitung

Bilder der kanonischen Einheitsvektoren unter einer Spiegelung an der Ursprungsgeraden mit Neigungswinkel $\alpha$

Da die Spiegelung eine lineare Abbildung ist, genügt es, die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren ${\textstyle e_{1}=\left({\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right)}$ und $e_{2}=\left({\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}\right)$ zu betrachten; diese bilden die Spalten der Spiegelungsmatrix. Eine Spiegelung von $e_{1}$ an der Ursprungsgerade mit Neigungswinkel $\alpha$ entspricht einer Drehung von $e_{1}$ um den Winkel $2\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn (siehe Skizze). Also ist

\varphi _{g}(e_{1})={\begin{pmatrix}\cos 2\alpha \\\sin 2\alpha \end{pmatrix}}

.

Eine Spiegelung von $e_{2}$ entspricht einer Drehung von $e_{2}$ um den Winkel $2\alpha$ und anschließender Umkehrung des Richtungssinns. Also ist

\varphi _{g}(e_{2})={\begin{pmatrix}\sin 2\alpha \\-\cos 2\alpha \end{pmatrix}}

.

Spiegelungsgerade in Normalenform

Spiegelung eines Vektors $x$ an einer Geraden mit Einheitsnormalenvektor $n$

Ist $g$ eine Gerade mit Normaleneinheitsvektor $n$ , so hat die Spiegelungsmatrix die Gestalt

S_{g}=I_{2}-2\,nn^{T}

,

wobei $I_{2}$ die $(2\times 2)$ -Einheitsmatrix ist.

Beispiel

Die $x$ -Achse hat den Normaleneinheitsvektor $e_{2}=\left({\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}\right)$ . Es ist

nn^{T}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}

und somit

S_{g}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-2\,{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

.

Herleitung

Ist $g$ eine Gerade mit Einheitsnormale $n$ und $x$ ein Vektor, so ist $n^{T}x$ die Länge der Orthogonalprojektion von $x$ auf $n$ . Spiegelt man nun $x$ an $g$ , so gilt (siehe Abbildung)

\varphi _{g}(x)=x-2n^{T}x\cdot n=(I_{2}-2n^{T}n)x

.

Also ist $S_{g}=I_{2}-2\,n^{T}n$ die darstellende Matrix der Geraden $n^{T}x=0$ .

Spiegelung an einer beliebigen Geraden in der Ebene

Mithilfe dieser Spiegelungsmatrizen lässt sich auch eine Darstellung der Spiegelung eines Vektors ${\vec {v}}$ an einer beliebigen Geraden $g={\vec {a}}+r\cdot {\vec {u}}$ mit Neigungswinkel $\alpha$ darstellen. Hierzu sind zwei Schritte durchzuführen:

Die allgemeine Spiegelung wird auf eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden $g^{*}=r\cdot {\vec {u}}$ zurückgeführt. Dies wird durch Verschiebung von $g$ um $-{\vec {a}}$ erreicht: ${\vec {v}}'={\vec {v}}-{\vec {a}}$ . Der Vektor ${\vec {v}}'$ wird nun an $g^{*}$ gespiegelt:
${\vec {q}}'=S_{g}({\vec {v}}')=S_{g}({\vec {v}}-{\vec {a}})$
Verschiebung von ${\vec {q}}'$ um den Stützvektor ${\vec {a}}$ der Ausgangsgeraden $g$ :
${\vec {q}}={\vec {q}}'+{\vec {a}}$